Читать онлайн «Представления группы Лоренца и их применения»

И. М. Гелъфанд, PA. Muwioc, З. Я. Шапиро ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ И ГРУППЫ ЛОРЕНЦА, ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Книга посвящена описанию и детальному изучению представлений группы вращений трехмерного пространства и группы Лоренца. Эти группы играют фундаментальную роль в теоретической физике. Рассчитывая на читателей-физиков, авторы собрали в своей книге весь основной материал теории представлений, который применяется в квантовой механике. Книга рассчитана также на читателей-математиков, изучающих представления групп Ли. Для них она может служить введением в общую теорию представлений. Содержание Предисловие 7 ЧАСТЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА Глава 1. Группа вращений и ее представления 9 § 1. Группа вращений трехмерного пространства 9 1. Определение группы вращений (9). 2. Введение параметров в группу вращений A0). 3. Инвариантное интегрирование A2). 4. Связь группы вращений с группой унитарных матриц второго порядка A4). 5. Определение представлений группы вращений A9). § 2. Бесконечно малые повороты и отыскание неприводимых 22 представлений группы вращений 1. Определение матриц Ah отвечающих бесконечно малым поворотам B2). 2. Соотношения между матрицами Ак B4). 3. Вид неприводимого представления B8). 4. Разложение представления на неприводимые C3). 5. Примеры представлений C7). Добавление к§2. Доказательство дифференцируемое™ матрицы Tg 41 § 3. Сферические функции и представления группы вращений 42 1. Определение сферических функций D2). 2. Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно малым поворотам D4). 3. Дифференциальное уравнение сферических функций D7). 4. Явное выражение сферических функций D9). 5. Разложение функций на сфере по сферическим функциям E3). § 4. Произведение представлений 54 1. Определение произведения представлений E4). 2. Преобразования, отвечающие в произведении представлений бесконечно малым поворотам E8). 3. Произведение двух неприводимых представлений E8). 4. Разложение произведения неприводимых представлений, когда одно из них имеет вес 1 или 1/2 F1). § 5. Тензоры и тензорные представления 65 1. Основные алгебраические операции над тензорами и инвариантные подпространства F6). 2. Определение весов неприводимых представлений, на которые разлагается тензорное представление G2). 3. Разложение тензорного представления на представления, кратные неприводимым. Тензоры третьего ранга G4). § 6. Спиноры и спинорные представления 80 1. Определение спинора и спинорного представления (80). 2. Симметрические спиноры. Существование неприводимых представлении для любого (целого и полуцелого) веса / (81). 3. Основные операции над спинорами (83). 4. На какие неприводимые представления разлагается спинорное представление (85). Глава 2. Дальнейшие исследования представлений группы вращении 87 § 7. Матричные элементы неприводимого представления (обобщенные 87 сферические функции) 1. Операторы Ug (87) 2. Дифференциальные операторы, отвечающие бесконечно малым поворотам (88). 3. Зависимость матричных элементов от углов Эйлера (pj и ф2 (91). 4.