Читать онлайн «Введение в функциональный анализ»

Б. 3. ВУЛИХ ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1967 БИБЛИОТЕКА Колхоза "Оскорка" со вин выдачи Пне №33 руки u2xg две 517. 2 В 88 УДК 517. 0 Введение в функциональный анализ. В у л и х Б. 3. , 1967 г. Книга содержит элементарное изложение основ функционального анали- анализа. В первых двух главах изучается конечно-мерное эвклидово пространство, и на этом примере читатель подготовляется к введению в последующих главах общих абстрактных понятий функционального анализа. Далее рассматри- рассматриваются метрические пространства и непрерывные операторы в них. Вводится основной класс пространств, изучаемых в книге,— нормированные про- пространства. Отдельная глава посвящена гильбертову пространству, которое вводится как частный случай нормированного пространства. Даются обе классические реализации бесконечно-мерного сепарабелыюго гильбертова пространства — координатная и функциональная. Попутно указываются два подхода к построению функциональной реализации гильбертова про- пространства: обычная конструкция пространства функций, суммируемых с квадратом, и построение пространства, составленного из функций промежут- промежутка, иными словами, функций, задаваемых своими средними значениями. В книге изучаются также линейные операторы и функционалы в нормиро- нормированных пространствах, проводится специальное исследование самосопряжен- самосопряженных, в частности, вполне непрерывных самосопряженных операторов в гиль- гильбертовом пространстве. Даются краткие сведения о применении методов функционального анализа к приближенному решению функциональных уравнений. В конце книги приводятся краткие сведения о счетно-нормиро- ванных и полуупорядоченных пространствах. Общая теория иллюстрируется многими примерами из алгебры, анализа, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнений. От читателя требуется знание лишь основ математического анализа, и только в некоторых местах предполагается знакомство с интегралом Лебега. Во втором издании включена новая глава о счетно-нормированных пространствах, увеличено число примеров за счет привлечения пространств суммируемых функций, дан геометрический подход к изучению линейных функционалов (введено понятие гиперплоскости). Иллюстраций 21, библио- библиографических ссылок 23. 2-2-3 78—67 ОГЛАВЛЕНИЕ Из предисловия к первому изданию 7 Предисловие ко второму изданию 8 Глава I. Конечно-мерное эвклидово пространство 9 1. 1. Понятие пространства в математике 9 1. 2. . n-мерное векторное пространство 10 1. 3. Норма вектора 12 1. 4. Скалярное произведение векторов 15 1. 5. Линейные преобразования 17 1. 6. Матрицы 20 1. 7. Норма оператора линейного преобразования 24 1. 8. Непрерывность линейного преобразования 25 1. 9. Линейные функционалы 27 1. 10. Сопряженные и самосопряженные операторы 28 1. 11. Подпространства в Rn 30 1. 12. Ортогональный базис 35 1. 13. Собственные числа и собственные векторы 39 1. 14.