Читать онлайн «Математические проблемы томографии»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО КОМПЛЕКСНОЙ ПРОБЛЕМЕ «КИБЕРНЕТИКА» ШРШ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ТОМОГРАФИИ Под редакцией И. И. Гельфанца и С Г. Гиндикина МОСКВА 1990 Сборник подготовлен Научным советом по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР П7333, Москва В—333, ул. Вавилова, 40, т. 135-40-71 РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ Академик \ЕРшов А. /7. ] (председатель), Айламазян А. /С, Амирджанов Г. П. , Бахвалов Н. С, Белоцерковский О. М. , Белоцерковский С. М. , Бетелин В. Б. , Бункин Б. В. , Валиев К- А. , Варданян В. А. (ответственный секретарь), Вишняков Ю. С, Дадаев Ю. Г. (зам. председателя), Гельфанд И. М. , Журавлев Ю. И. , Кушниренко А. Г. , Масчан С. С, Мельников В. А. , Мигдал А. А. , Падучева Е. В. , Поспелов Д. А. , Семенов А. Л. , Федосов Е. А. , Цыпкин #. 3. , Щенников В. В. Сборник статей, посвященных математическим задачам, возникающим в различных областях томографии: точные оценки сходимости алгоритмов, новые алгоритмы реконструкции изображения на проекции, восстановление неизвестных углов проектирования, реконструкция по неполным данным, проблемы дифракционной томографии, задачи томографического типа, возникающие в экономических моделях. В составлении сборника принимал участие канд. физ. -мат. наук А. Б. Гончаров. Настоящий сборник (ВК-157) издается как информационные материалы Научного совета АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика». © Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР 1990 г. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОМОГРАФИЯ Я. М. Гельфанд, С. Г. Гиндикин ВВЕДЕНИЕ В 1917 г. Радон указал явную формулу, восстанавливающую функцию на плоскости, если известны ее интегралы по прямым. Еще раньше Минковский и Функ решили по существу эквивалентную задачу о выражении функции на сфере через ее интегралы по большим кругам. В конце 60-х годов появились первые применения формулы Радона, в начале в радиоастрономии (Брейсуэл), затем в электронной микроскопии (Клуг, Б. К- Вайнштейн). В то же время начинается работа по использованию преобразования Радона к задаче рентгеновской томографии: построению плоских сечений облучаемого объекта. Задача о томограммах была актуальна в рентгенологии, по крайней мере, с 20-х годов, когда были разработаны аналоговые устройства для ее решения. Возможно не случайно, идея воспользоваться формулой Радона для построения томограмм по времени совпала с возможностью использовать компьютеры для ее практической реализации. В 1970 г. был создан первый клинически пригодный компьютерный томограф. Era создателю Хаунсфилду, вместе с Кормаком, разрабатывавшим математические и вычислительные аспекты томографии, а 1979 г. была присуждена Нобелевская премия по медицине. Сегодня компьютерная томография превратилась в важнейшее средство практической медицины. В 1982 г. Клуг получил Нобелевскую премию по химии за цикл работ, в котором роль сыграли томографические методы в электронной микроскопии. Практические применения преобразования Радона, особенно в медицинской томографии, сделали его исключительно популярным среди математиков.