Читать онлайн «Философия математики. Часть 1»

УДК 140. 8 ББК 87 Ц34 Исследования, нашедшие отражение в книге, поддержаны Российским гуманитарным научным фондом (грант № 01—03—00131) и Интеграционным проектом Сибирского отделения РАН (грант № 38) Утверждено к печати Ученым советом Института философии и права СО РАН Целищев В. В. Ц34 Философия математики. Ч. 1. — Новосибирск: Наука, 2002, —212 с. КВЫ 5—02—031888—4. В монографии отражены исследования в области философии математики, чрезвычайно важные для понимания соотношения фор¬ мальных систем и их философских интерпретаций. В центре внима¬ ния находятся интерпретации теоремы Левенгейма — Сколема и кон¬ тинуум-гипотезы Кантора, а также обсуждение теоретико-множест¬ венных аксиом и логических языков математики. Значительная часть книги посвящена исследованиям философов математики, проведен¬ ным за последние два десятка лет. Книга предназначена всем, интересующимся философией математики. УДК 140. 8 ББК 87 Без объявления © В. В. Целищев, 2002 © Оформление. «Наука». ISBN 5—02—031888 4 Сибирская издательская фирма РАН, 2002 ПРЕДИСЛОВИЕ Философия математики является восхитительной ветвью философии. Согласно Б. Расселу, «проблема, которую Кант положил в основу своей философии, а именно, “Как возможна чис¬ тая математика?”, интересна и трудна, и любая философия, если она не полностью скептическая, должна найти какое-то ее решение»1. Правда Я. Хакинг лаконично заметил по этому поводу, что «Рассел преувеличил. Есть много философий, которые не полностью скеп¬ тичны, и которые вовсе не интересуются проблемой, поставленной Кантом»2. Наверное, Хакинг прав, и это обстоятельство, возможно, объясняет тот печальный факт, что философия математики занима¬ ет философов все меньше и меньше. В какой-то степени это есть результат определенного застоя в области, которую в начале XX века усилия таких великих мыслителей, как Б. Рассел, Д. Гильберт, Я. Брау¬ эр по разрешению противоречий в основаниях математики постави¬ ли в центр внимания философии. Определенные итоги этого огром¬ ного интеллектуального предприятия были подведены в 1930-м году на знаменитом симпозиуме в Кенигсберге, где логицизм был пред¬ ставлен в докладе Р. Карнапа, интуиционизм — в докладе А. Гей- тинга, а формализм — в докладе Дж. фон Неймана. А затем после¬ довало доказательство К. Геделя о неполноте арифметики, которое почти полностью вытеснило на долгое время традиционную про¬ блематику философии математики. Как бы то ни было, в течение почти пяти десятков лет изучающие философию математики стал¬ кивались в книгах с одними и теми же вопросами и именами. «Каноническое» состояние проблем философии математики можно найти в известной антологии Философия математики под редакцией П. Бенацеррафа и X. Патнэма издания 1964 года3. При¬ 1 Рассел Б. Проблемы философии / Пер. В. В. Целищева. — Новосибирск: Наука, 2001, — С. 57. 2 Hacking J. What Mathematics Has Done to Some and Only Some Philosophers II Mathematics and Necessity / Ed. T. Smiley. — Oxford: University Press, 2000. — P. 83. 3 Philosophy of Mathematics / Ed. P. Benacerraf, H. Putnam. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964.