Читать онлайн «Теория размерности и смежные вопросы. Статьи общего характера»

П. С. АЛЕКСАНДРОВ ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: А. Н. КОЛМОГОРОВ - главный редактор, А. А. МАЛЬЦЕВ, Л. С. ПОНТРЯГИН, А. Н. ТИХОНОВ МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1978 П. С. АЛЕКСАНДРОВ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ; СТАТЬИ ОБЩЕГО ХАРАКТЕРА МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1978 22 Л 61. 5 А 46 УДК 517. 5 Александров П. С. Теория размерности и смежные вопросы; статьи общего характера,— М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. —432 с. Книга содержит работы по общей теории размерности, начиная с работ, примыкающих к основополагающим работам П. С. Урысона. Здесь заложены основы синтеза теоретико-множественной и комбинаторной топологии, занимавшего большое место в топологии в течение периода 1925—1945 гг. Кроме того, сюда входят статьи и речи, касающиеся ряда вопросов, связанных с научным творчеством и преподаванием математики, а также речи, посвященные отдельным выдающимся представителям математической мысли: А. Пуанкаре, Э. Нётер, X. Хопфу, Л. Э. Я. Брауэру и т. д. Рассчитана на научных работников, преподавателей вузов, студентов математических специальностей и аспирантов. 20203 165 © Главная редакция физико- А Аггъ ^оч „0 33-78 математической литературы Ü53(02)-7o издательства «Наука», 1978 1 О РАЗМЕРНОСТИ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ*) 1. Целью настоящей работы является доказательство следующего предложения : Теорема. Пусть F — ограниченное замкнутое подмножество n-мерного евклидова пространства Еп или фундаментального параллелепипеда Е® гильбертова пространства **). Пусть X — размерность ***) множества F. Тогда для любого г >> 0 существует такая непрерывная деформация Д8 (F) множества F, переводящая F в некоторый полиэдр Се размерности X, при которой никакая точка F не переходит в точку, находящуюся от нее на расстоянии, превосходящем е ****). С другой стороны, существует такое положительное число 80 (F), что ни при каком е < е0 (F) нельзя заменить в предыдущем утверждении Се полиэдром размерности, меньшей чем X. 2. Вторая часть нашего результата — не что иное, как частный случай некоторого общего предложения, по существу содержащегося в первом доказательстве инвариантности числа измерений, опубликованном Брауэром в 1911 г. ([9]): *) Опубликовано в С. г. Acad sei. Paris, 1926, 183, с. 640— 642, под заголовком «Sur la dimension des ensembles fermés». Перевод с французского Е. В. Щепина. **) В силу одного результата Урысона ([1J) всякое сепа- рабельное метрическое пространство («класса D» по Фреше) гомео- морфно некоторому подмножеству в Е®. ***) Имеется в виду размерность множеств, определенная Урысоном и Менгером ([2], [61). Определение Урысона — Менгера, эквивалентное данному в 1913 г. Брауэром ([7]), является математической реализацией общих идей Пуанкаре о числе измерений ([8]). ****) Мы выражаем это последнее свойство, говоря, что Ае является е-д е ф о р м а ц и е й. 6 1. О РАЗМЕРНОСТИ ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ Принцип Брауэра (общий принцип инвариантности).