Читать онлайн «Центры тяжести и геометрия»

С. Б. Гашков Центры тяжести и геометрия Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 2015 УДК 511. 2 ББК 22. 131 Г24 Гашков С. Б. Центры тяжести и геометрия. Электронное издание. М. : МЦНМО, 2015. 61 с. ISBN 978-5-4439-2442-7 В брошюре рассказывается о методах вычисления цен- тров тяжести различных геометрических фигур: треугольни- ков, многоугольников, тетраэдров и др. Для широкого круга читателей, интересующихся матема- тикой: школьников старших классов, студентов, учителей. Подготовлено на основе брошюры: Гашков С. Б. Центры тяжести и геометрия. — М. : МЦНМО, 2015. — 64 с. ISBN 978-5-4439-0355-2. Б. , 2015 ISBN 978-5-4439-2442-7 ffi МЦНМО, 2015  1. Центры тяжести плоских фигур и планиметрия Методы вычисления центров тяжести, или, что то же самое, цен- тров масс (далее для разнообразия используются оба термина), со- ставляют один из важнейших разделов статики и являются самым древним разделом механики (да и физики вообще). Их основы были заложены знаменитым Архимедом. Его подход к этим задачам был в значительной мере геометрическим 1 , и с тех пор методы нахожде- ния центров масс простых плоских фигур составляют своеобразный раздел геометрии 2 . Как и саму геометрию, их можно излагать акси- оматически. Центр масс конечной системы материальных точек Например, в качестве аксиом можно взять следующие кажущиеся достаточно очевидными утверждения. Аксиома 0. У любой конечной системы точек центр масс суще- ствует и определен однозначно. Аксиома 1. Центр масс точки совпадает с ней. Аксиома 2. Центр масс системы двух точек с массами m𝑖 делит отрезок, их соединяющий, в отношении m1 : m2 и расположен ближе к большей массе (если они равны, то он находится посередине). 1 Но он использовал и некоторые физические соображения, например открытый им закон рычага. Ход мысли Архимеда показан в книге известного австрийского физика и философа Эрнста Маха [1], в которой некоторые рассуждения Архимеда Мах критиковал. Кстати, философскую систему, развитую Махом (так называемый махизм), подверг резкой (и во многом несправедливой) критике В. И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм». 2 Далее мы в значительной степени следуем прекрасному учебнику теоретической механики профессора Московского университета Н. Е. Жуковского [2], написанному в истинно геометрическом стиле. Многие (но не все) излагаемые далее факты взяты из этой книги (но доказательства часто даются другие). К сожалению, в [2], как принято в учебниках, обычно не указываются источники многих несложных резуль- татов, вероятно, известных с давних пор (может быть, даже и Архимеду), а сейчас их установить затруднительно. Кстати, Н. Е. Жуковского за его фундаментальный вклад в аэромеханику В.