Читать онлайн «Введение в геометрию многообразий с симметриями»

В. В. Трофимов ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ МНОГООБРАЗИЙ С СИММЕТРИЯМИ Монография написана на основе спецкурсов по геометрии, читаемых автором на механико-математическом факультете МГУ. В нее включены: геометрия групп Ли, теория симметрических пространств, геометрия и топология векторных расслоений. Большое внимание уделяется приложениям излагаемого геометрического материала: систематически изложена теория калибровочных полей, математическое название которой — геометрия расслоенных пространств, дано введение в новые эффективные методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений математической физики с рассмотрением конкретных примеров. Книга содержит современный геометрический материал, не излагавшийся ранее в научной и учебной литературе. Содержание Некоторые используемые обозначения 5 Введение 6 Глава I. Элементы дифференциальной геометрии 10 § 1. Понятие топологического пространства 10 § 2. Непрерывные отображения топологических пространств 16 § 3. Аксиомы счетности 17 § 4. Бикомпактные топологические пространства 21 § 5. Аксиомы отделимости 22 § 6. Секвенциально компактные топологические пространства 23 § 7. Конструкции топологических пространств 24 § 8. Гладкие многообразия 26 § 9. Геометрия гладких многообразий 31 § 10. Элементы тензорной алгебры 35 §11. Гладкие отображения гладких многообразий 39 § 12. Исчисление внешних дифференциальных форм на многообразиях 42 § 13. Интегрирование внешних дифференциальных форм 51 § 14. Когомологии де Рама 61 § 15. Элементы римановой геометрии 69 § 16. Элементы аффинной геометрии 74 § 17. Тензор кривизны 83 § 18. Геодезические и кратчайшие 88 Глава II. Группы Ли и алгебры Ли 97 §1. Группы Ли 98 §2. Алгебры Ли 100 § 3. Траектории левоинвариантных векторных полей 105 § 4. Экспоненциальное отображение 109 § 5. Сдвиги функций по траекториям 112 § 6. Действия групп Ли 114 § 7. Линейные представления групп Ли 119 § 8. Автоморфизмы групп Ли 121 § 9. Формула Маурера— Картана 124 § 10. Основные глобальные теоремы о группах Ли 126 § 11. Вопросы неодносвязности. Накрытия 136 § 12. Подгруппы Ли 144 § 13. Нильпотентные представления алгебр Ли 146 § 14. Разрешимые алгебры Ли и их линейные представления 150 § 15. Представления нильпотентных алгебр Ли 154 § 16. Полупростые алгебры Ли 156 § 17. Подалгебры Картана 158 § 18. Метрика Киллинга 160 § 19. Критерий Картана 162 § 20. Структура полупростых алгебр Ли 166 §21. Простые алгебры Ли 172 Глава III. Симметрические пространства 174 § 1. Понятие симметрического пространства 174 § 2. Компактные группы Ли как римановы симметрические пространства 181 § 3. Инволютивные автоморфизмы групп Ли и связанные с ними римановы 188 симметрические пространства § 4. Связности в главных расслоениях 195 § 5. Основные теоремы 207 § 6. Группы Ли как симметрические пространства аффинной связности 215 § 7. Вполне геодезические подмногообразия 223 § 8. Вполне геодезические подмногообразия и инволютивные 231 автоморфизмы § 9. Римановы симметрические пространства 239 Глава IV. Гладкие векторные расслоения и характеристические 245 классы § 1.