Читать онлайн «Собрание научных трудов в десяти томах, Том 2, Андрей Николаевич Тихонов. Математика. Часть 2: Вычислительная математика, 1956-1979. Математическая физика, 1933-1948»

Andf ey Nikolaevich TIKHONOV COLLECTION OF SCIENTIFIC WORKS IN TEN VOLUMES Андрей Николаевич ТИХОНОВ СОБРАНИЕ НАУЧНЫХ ТРУДОВ В ДЕСЯТИ ТОМАХ Том II Математика Часть 2 Вычислительная математика 1956-1979 Математическая физика 1933-1948 ПРЕДИСЛОВИЕ Второй том полного собрания сочинений содержит статьи А. Н. Тихонова, посвященные вычислительной математике и некоторым задачам математической физики. Этот цикл работ, представляющий собой одну из вершин научного творчества А. Н. Тихонова, оказал фундаментальное влияние на развитие данной научной области. Включены работы А. Н. Тихонова, посвященные как общей постановке методологических проблем вычислительной математики, так и решению конкретных математических задач. В статье «Вычислительная математика» (БСЭ, 1971, т. 5) Андрей Николаевич определяет предмет вычислительной математики, как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием электронных вычислительных машин в различных областях или, как сказали бы сейчас, связанных с компьютеризацией научной и практической деятельности. В вычислительной математике можно выделить следующие три больших раздела: анализ математических моделей, разработка методов и алгоритмов решения типовых математических задач, теория и практика программирования для ЭВМ. Статья А. Н. Тихонова -«Вычислительная математика и научно-технический прогресс», опубликованная в 1971 г. и посвященная 225-летию Московского университета, содержит детальную конкретизацию разделов вычислительной математики и многочисленные примеры применения численных методов. Подчеркивается, что теперь при формулировке математических моделей не нужно стремиться к упрощениям, которые были необходимы раньше при желании получить ответ в явном виде. Вместо этого появляется возможность «правильно учесть все наиболее существенные особенности изучаемого объекта и отразить их в математической модели». Особо следует отметить работы А. Н. Тихонова и А. А. Самарского, посвященные построению разностных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Это направление исследований, называемое теорией разностных схем, представляет собой уникальное явление в мировой математической науке. Авторы впервые поставили и решили задачу теоретического исследования сходимости разностных схем для уравнений с переменными и даже разрывными коэффициентами. Отмечено, что «автоматизация вычисле- ний, связанная с использованием ЭВМ, ставит вопрос о выборе наилучших разностных схем, обладающих как максимальной точностью, так и применимостью в возможно более широком классе коэффициентов». Была выдвинута концепция однородных разностных схем, позволившая сформулировать принципы построения заведомо сходящихся разностных схем для широких классов уравнений с переменными коэффициентами. Однородность разностной схемы означает, что ее коэффициенты являются функционалами коэффициентов дифференциального уравнения, зависящими от шага сетки как от параметра и не зависящими от узла сетки и от выбора коэффициентов из заданного класса функций.