Читать онлайн «Геометрия 2»

В. Т. БАЗЫЛЕВ, К. И. ДУНИЧЕВ ГЕОМЕТРИЯ  II ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО И МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Допущено Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1975 513 Б 17 Базылев В. Т. и Дуничев К. И. Б 17 Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ. - мат. фак-тов пед. ин-тов. М. «Просвещение», 1975. 367 с. с ил. Перед загл. авт. : В. Т. Базылев, К. И. Дуничев _ 60602—662 лг> Б 28—75 103(03)—75 © Издательство «Просвещение», 1975 г. ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие является непосредственным продолжением книги «Геометрия, I» В. Т. Базы- лева, К, И. Дуничева, В. П. Иваницкой. Оно написано на основе лекций, прочитанных авторами на математическом факультете Московского областного педагогического института им. Н. К, Крупской, и вместе с I частью охватывает весь материал, предусмотренный программой по геометрии для педагогических институтов. Геометрия проективного пространства дана в векторном изложении. Это делает более осязаемой схему Вейля построения геометрий классических пространств на векторной основе. В главе «Методы изображений» существенно используются основные факты проективной геометрии. Авторы нашли целесообразным отвести отдельный параграф краткому изложению учения о величинах, так как понятие величины является важным в школьном курсе математики. Рассмотрена также и аксиоматика школьного курса геометрии. Изложение вопросов дифференциальной геометрии дано на топологической основе. Это позволило четко определить такие понятия, как кривая, поверхность и др. В конце каждой главы дано небольшое число задач и теорем. Большинство этих задач (как и задач, рассмотренных в тексте) непосредственно связано со школьным курсом геометрии. Авторы выражают глубокую благодарность коллективу преподавателей кафедры геометрии Ленинградского педагогического института им. А. И. Герцена (зав. кафедрой профессор И. Я. Бакельман), а также профессору 3. А. Скопецу за ценные замечания, сделанные ими при чтении рукописи, которые во многом способствовали ее улучшению. Авторы Раздел 3 ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ Глава I ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО Напомним некоторые понятия, необходимые в дальнейшем. 1. Пусть А и Б—два непустых множества. Множество всех упорядоченных пар (я, Ь) элементов аеЛ, JgB называется прямым (или декартовым) произведением этих множеств и обозначается так: АхВ. Допустим, что в множестве АхВ выделено непустое подмножество Г, которое удовлетворяет двум условиям: 1) для Ча&А 3b еВ\ (а, Ь) еГ; 2) для VaеА указанный в пункте 1 элемент ЬеВ единственный. Тогда говорят, что дано отображение f множества А в множество В, и пишут: f:A-+B9 f(a) = b. Множество Г а А х В называется графиком отображения f9 элемент Ь —образом элемента а, а элемент а —прообразом элемента b в отображении /. Говорят также, что b соответствует? элементу а в отображении Множество всех f(a) называют образом множества А и обозначают через /(Л).