Читать онлайн «Элементарная математика с точки зрения высшей»

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА Феликс Клейн A849—1925) принадлежит к числу математи- математиков-классиков, обогативших науку новыми идеями и в значитель- значительной степени определивших ее современное лицо. В области гео- геометрии XIX век ознаменовался, прежде всего, значительным рас- расширением наших взглядов на пространство и предмет геометрии. Если раньше господствовало представление о том, что научные факты, теоремы, законы в точности описывают свойства един- единственного мыслимого, волею творца созданного пространства*), то XIX век не только поколебал, но и полностью опрокинул эти идеалистические взгляды. И начало этому было положено рабо- работами нашего выдающегося соотечественника Н. И. Лобачевского. Лобачевский, открывший новую геометрию, отличную от ев- евклидовой, неизбежно пришел к вопросу о том, какова же гео- геометрия реального пространства, подошел к пониманию *того, что евклидова геометрия может лишь приближенно описывать свой- свойства реального пространства, которое в действительности являет- является значительно более сложным. И его эксперименты по вычисле- вычислению суммы углов огромного космического треугольника — яркоа свидетельство этого. Работы Лобачевского открыли перед мате- математиками целый новый мир, позволили искать новые и новые геометрии, и это вскоре ознаменовалось появлением римановой геометрии, введением нормированных, топологических и многих других пространств. Вместе с тем был один пробел в математическом наследии Лобачевского, существенность которого он сам отлично понимал. Речь идет о доказательстве непротиворечивости его «воображае- «воображаемой геометрии». Вместо построения необходимой для этого мо- модели Лобачевскому удалось построить другую модель: оказалось, что на предельной сфере пространства Лобаческого реализуется планиметрия Евклида. Какая горькая ирония судьбы! Для того чтобы «узаконить» свою геометрию, Лобачевскому нужна была «обратная» модель, реализующая все соотношения его геометрии *) Этих взглядов придерживался и великий Ньютон. Приве- Приведем несколько цитат из книги: К л а й н М. Математика — утрата определенности. — М. : Мир, 1984. — С. 72—73: «Как и все мате- математики и естествоиспытатели того времени, Ньютон верил в то, что бог сотворил мир в соответствии с математическими прин- принципами... изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и власти могуществен- могущественнейшего и премудрого существа... господь бог — искусный мате- математик и физик... Задача науки состоит в том, чтобы раскрыть блистательные замыслы творца», 6 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА и построенная из евклидова «материала». Но этого ему не суж- суждено было сделать. Это выпало на долго нескольких геометров, работавших во второй половине XIX столетия, и Феликс Клейн — один из них. Один из тех,_ кто построением изящной модели за- завершил более чем двухтысячелетнгою «борьбу» математиков с пя- пятым постулатом Евклида (постулатом о параллельных) и под- подтвердил правомерность идей Лобачевского о возможности суще- существования разных геометрий.