Читать онлайн «Квантовые группы»

К. Кассель КВАНТОВЫЕ ГРУППЫ Содержание Предисловие редактора перевода XX Предисловие к русскому изданию XXIII Предисловие XXV Обозначения XXVII Часть I. Квантовая SLB) 1 Глава 1. Предварительные сведения 3 1. 1. Алгебры и модули 3 1. 2. Свободные алгебры 8 1. 3. Аффинная прямая и аффинная плоскость 9 1. 4. Матричное умножение 12 1. 5. Детерминанты и обратимые матрицы 13 1. 6. Градуированные алгебры и алгебры с фильтрацией 15 1. 7. Расширения Оре 18 1. 8. Нётеровы кольца 22 1. 9. Упражнения 25 1. 10. Замечания 27 Глава 2. Тензорные произведения 29 2. 1. Тензорные произведения векторных пространств 29 2. 2. Тензорные произведения линейных отображений 33 2. 3. Двойственность и следы 37 2. 4. Тензорные произведения алгебр 41 2. 5. Тензорные и симметрические алгебры 43 2. 6. Упражнения 47 2. 7. Замечания 49 Глава 3. Язык алгебр Хопфа 50 3. 1. Коалгебры 50 3. 2. Биалгебры 57 3. 3. Алгебры Хопфа 63 3. 4. Взаимосвязь с первой главой. Алгебры Хопфа GLB) и SLB) 73 3. 5. Модули над алгебрами Хопфа 74 3. 6. Комодули 78 3. 7. Комодульные алгебры. Кодействие SLB) на аффинной плоскости 82 3. 8. Упражнения 86 3. 9. Замечания 91 Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии 93 4. 1. Квантовая плоскость 93 4. 2. Многочлены Гаусса и ^-биномиальная формула 95 4. 3. Алгебра Mq{2) 100 4. 4. Теоретико-кольцевые свойства Mq{2) 103 4. 5. Структура биалгебры на МдB) 106 4. 6. Алгебры Хопфа GLqB) и SLqB) 107 4. 7. Ко действие на квантовой плоскости 110 4. 8. *-Алгебры Хопфа 111 4. 9. Упражнения 114 4. 10. Замечания 116 Глава 5. Алгебра Ли алгебры SLB) 119 5. 1. Алгебры Ли 119 5. 2. Обертывающие алгебры 121 5. 3. Алгебра Ли slB) 127 5. 4. Представления slB) 129 5. 5. Формула Клебша-Гордана 135 5. 6. Модульные алгебры над биалгеброй. Действие slB) на аффинной 137 плоскости 5. 7. Двойственность между алгебрами Хопфа C/(slB)) и SLB) 140 5. 8. Упражнения 150 5. 9. Замечания 152 Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры Ли slB) 155 6. 1. Алгебра Uq(s\B)) 155 6. 2. Связь с обертывающей алгеброй алгебры Ли slB) 160 6. 3. Представления алгебры Uq 162 6. 4. Гомоморфизм Хариш-Чандры и центр Uq 167 6. 5. Случай, когда q является корнем из единицы 171 6. 6. Упражнения 177 6. 7. Замечания 177 Глава 7. Структура алгебры Хопфа на Z7?(slB)) 179 7. 1. Коумножение 179 7. 2. Полупростота 183 7. 3. Действие алгебры t/?(slB)) на квантовой плоскости 186 7. 4. Двойственность между алгебрами Хопфа C/?(slB)) и SLq{2) 191 7. 5. Двойственность между модулями над C/?(slB)) и комодулями над 196 SLq{2) 7. 6. Скалярные произведения на C/?(slB)) -модулях 198 7. 7. Квантовая формула Клебша-Гордана 200 7. 8. Упражнения 206 7. 9. Замечания 207 Часть П. Универсальные R-матрицы 209 Глава 8. Уравнение Янга-Бакстера и (ко) сплетенные биалгебры 211 8. 1. Уравнение Янга-Бакстера 211 8. 2. Сплетенные биалгебры 218 8. 3. Как сплетенная биалгебра порождает R-матрицы 224 8. 4. Квадрат антипода в сплетенной алгебре Хопфа 226 8. 5. Двойственное понятие: косплетенные биалгебры 232 8. 6. Конструкция РТФ 237 8. 7. Приложения к GLq{2) и SLqB) 245 8. 8. Упражнения 248 8. 9. Замечания 250 Глава 9.