Читать онлайн «Труды московского математического общества. Том 18»

ТРУДЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА ТОМ ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 19 6 8 I УДК 51 : 006. 22 РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: П. С. АЛЕКСАНДРОВ, Л. Р. ВОЛЕВИЧ (зам. гл. редактора), О. Н. ГОЛОВИН, А. Н. КОЛМОГОРОВ, О. А. ОЛЕЙНИК (главный редактор) 2—2—3 142—68 1968 г. ТРУДЫ МОСКОВСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА Т о м 1 8 УДК 519. 46 ДИСКРЕТНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП ЛИ (к шестидесятилетию А. О. Гельфонда) И. И. Пятецкий-Шапиро СОДЕРЖАНИЕ ч Введение 3 § 1. Корневые группы 7 § 2. Группы типа Гекке . 12 § 3. Унипотентные элементы дискретных групп 16 Литература 18 Введение ( По-видимому, наиболее интересный класс дискретных подгрупп в группах Ли — это подгруппы, для которых объем фактор-пространства конечен. Как показал Зигель [6], для существования такой дискретной подгруппы в топологической группе G необходимо, чтобы группа G была унимодулярна, т. е. чтобы на G существовала двухсторонне инвариантная мера. Этого условия, как хорошо известно, недостаточно даже для групп Ли. Так, например, пусть G — нильпотентная группа Ли над полем вещественных чисел. Как нетрудно показать, в этом случае не существует дискретных подгрупп Г с фактор-пространством, которое имело бы конечный объем и было бы некомпактно. Все дискретные подгруппы с компактной фундаментальной областью были в этом случае описаны А. И. Мальцевым [5]. Если G — нильпотентная группа Ли над полем /7-адических чисел, то, как нетрудно показать, в G не существует никаких дискретных подгрупп, за тривиальным исключением подгруппы, состоящей из одного единичного элемента. Совершенно другая ситуация для полупростых групп Ли. Отметим вначале, что вопрос о существовании решается сравнительно просто. В то же время задача полного описания всех дискретных подгрупп 4 И. И. ПЯТЕЦКИЙ-ШАПИРО данной полупростой группы G с конечным объемом фактор-пространства очень трудна. Однако кажется весьма вероятным, что. для многих случаев ответ может быть дан в весьма удовлетворительной форме. А. Сельбергу принадлежит чрезвычайно интересная гипотеза о том, каков ответ в этой задаче. Прежде чем сформулировать эту гипотезу, мы должны дать определение арифметической дискретной подгруппы. Примером арифметических групп служит модулярная группа, т. е. группа дробно-линейных преобразований верхней полуплоскости Я с целыми коэффициентами и определителем I az-\- ь cz-\-d В общем случае арифметическая группа представляет собой множество целых точек некоторой алгебраической группы. Напомним вначале определение алгебраической группы. Пусть GL(n, С)—совокупность всех комплексных невырожденных матриц порядка п. Алгебраической группой называется подгруппа группы GL(n, С), выделяемая условиями обращения в нуль некоторого числа полиномов от элементов матриц.