Читать онлайн «Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна»

В. И. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. — М. -Ижевск НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2008. — 544 с. В монографии изложены основные понятия и результаты, связанные с дифференциальными свойствами мер на бесконечномерных пространствах. В конечномерном случае такие свойства описываются в терминах плотностей мер относительно меры Лебега. В бесконечномерном случае возникают качественно новые явления. Впервые дается детальное изложение теории дифференцируемых мер, заложенной около 40 лет назад СВ. Фоминым и нашедшей разнообразные применения. Описываются дифференциальные свойства различных конкретных классов мер, возникающих в приложениях, например, гауссовских, выпуклых, устойчивых, гиббсовских, распределений диффузионных процессов. Подробно обсуждаются классы Соболева относительно мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах. Излагаются основные идеи и результаты исчисления Маллявэна — метода изучения гладкости распределений нелинейных функционалов на бесконечномерных пространствах с мерами. Книга рассчитана на математиков и физиков, соприкасающихся в своих исследованиях с мерами на бесконечномерных пространствах, распределениями случайных процессов и дифференциальными уравнениями в бесконечномерных пространствах. Библ. 1124. Предварительные сведения 15 1. 1. Функциональный анализ 15 1. 2. Меры на топологических пространствах 21 1. 3. Условные меры 37 1. 4. Гауссовские меры 42 1. 5. Стохастические интегралы 49 1. 6. Комментарии и задачи 55 Глава 2. Пространства Соболева на IRn 57 2. 1. Классы Соболева Wp>k 57 2. 2. Теоремы вложения для классов Соболева 65 2. 3. Классы BV 71 2. 4. Аппроксимативная дифференцируемость и якобианы 73 2. 5. Сужения и продолжения 78 2. 6. Весовые классы Соболева 80 2. 7. Дробные классы Соболева 90 2. 8. Комментарии и задачи 91 Глава 3. Дифференцируемые меры на линейных пространствах 93 3. 1. Дифференцируемость по направлениям 93 3. 2. Свойства непрерывных мер 98 3. 3. Свойства дифференцируемых мер 100 3. 4. Дифференцируемые меры на Шп 108 3. 5. Описание через условные меры 112 3. 6. Дифференцируемость Скорохода 115 3. 7. Дифференцируемость высших порядков 121 3. 8. Сходимость дифференцируемых мер 122 3. 9. Комментарии и задачи 124 4 Оглавление Глава 4. Некоторые классы дифференцируемых мер 127 4. 1. Продакт-меры 127 4. 2. Гауссовские и устойчивые меры 130 4. 3. Выпуклые меры 135 4. 4. Распределения случайных процессов 141 4. 5. Гиббсовские меры и смеси мер 147 4. 6. Комментарии и задачи 151 Глава 5.