Читать онлайн «Группы и алгебры Ли. Глава VII. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Глава VIII. Расщепляемые полупростые алгебры Ли»

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ Н. БУРБАКИ ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА, РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, РАСЩЕПЛЯЕМЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО А. Н. РУДАКОВА ПОД РЕДАКЦИЕЙ А. И. КОСТРИКИНА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1978 УДК 512; 519. 46 Книга входит во всемирно известную энцикло- энциклопедию современной математики «Основы матема- математики», созданную группой французских ученых, выступающих под псевдонимом Н. Бурбаки. Ряд томов этой энциклопедии уже вышел в русском переводе и получил высокую оценку читателей. Перевод первых глав «Групп и алгебр Лн» был выпущен в издательстве «Мир» в 1972 и 1975 гг. , а сейчас предлагаются очередные две гла- главы. Книга посвящена изучению полупростых ал- алгебр Ли. Она содержит обширный материал по теории подалгебр Картапа, автоморфизмам алгебр Ли, теории представлений полупростых алгебр Ли. Книга предназначена для широкого крута ма- математиков различных специальностей и разного уровня подготовки — от студентов до научных ра- работников. Выражение „векторное пространство" означает „векторное пространство над полем k"; аналогичным образом обстоит дело с выражениями „алгебра Ли" и т. п. Все алгебры Ли предполагаются конечномерными. § 1. Примарное разложение линейных представлений /. Примарное разложение для семейства эндоиорфизиов Пусть V — векторное пространство, S — некоторое мно- множество и г — отображение множества S в множество End (V). Обозначим через Р множество всех отображений множества S в k. Для каждого элемента А,еР будем обозначать через V\(S) (соотв. через V (S)) множество таких элементов оеК, что равенство r{s)v = K{s)v выполняется для всех s^S (соотв. равенство (r(s) — X(s))nv = 0 выполняется для достаточно боль- больших п и всех s e S). Множества VK (S) и Vх (S) являются под- подпространствами векторного пространства V, причем V\(S)ci с V (S). Подпространство V^{S) называется собственным под- подпространством пространства V, отвечающим отображению I (и г), а Vх (S) — примарным подпространством пространства V, отвечающим отображению К (и г). Подпространство V°(S) на- называется нильпространством пространства V (относительно дей- действия г). При этом говорят, что отображение К является весом действия множества S на пространстве V, если V" (S) ф 0. В том частном случае, когда S состоит из одного элемента s, множество Р отождествляют с полем k и вместо обозначений ^a. ({s}) и V% ({s}) используют обозначения F*. (S)(s) и Vl(s)(s) или У>- (s> (r (s)) и VK (s) (r (s)); при этом говорят о собственных под- подпространствах, примарных подпространствах и нильпространстве эндоморфизма r(s). Элемент v подпространства Fx. (. ?)(s) назы- называют собственным вектором эндоморфизма r{s), а если юфО, го Я (s) называют его собственным значением (ср.