Читать онлайн «Многомерный куб»

Библиотека <Математическое просвещение> Выпуск 39 Г. А. Гальперин МНОГОМЕРНЫЙ КУБ Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2015 УДК .  ББК .  Г Гальперин Г. А. Г Многомерный куб. — М. : МЦНМО, . —  с. ISBN ---- Брошюра посвящена многомерному кубу и его свойствам. Рассказы- вается, как получить формулу для числа граней куба любой размерности и как распространить ее на другие правильные многогранники. Рассмат- риваются комбинаторные и топологические свойства многомерного куба, связанные с ним парадоксы, гипотеза Борсука; обсуждаются вопросы об объеме корки n-мерного кубического и шарового «арбуза» и электриче- ском сопротивлении n-мерного куба. В конце приведен список 25 задач, последние две из которых были сформулированы известнейшими матема- тиками современности — И. М. Гельфандом и В. И. Арнольдом. Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников стар- ших классов, студентов, учителей. ББК .  ISBN ---- © МЦНМО, . На одной летней математической школе я обратился к её участни- кам с вопросом: кто может коротко объяснить, что такое четырёхмер- ный куб? Вызвался один из участников, паренёк лет —. Ничего не говоря, школьник поднял над головой каркас обычного куба (несколь- ко больших моделей куба лежали на столе рядом с ним) и, продержав его так секунд двадцать, чтобы все всё хорошенько рассмотрели, поло- жил обратно на стол. После чего сел, сочтя объяснение законченным. «И что всё это значит?» — спросил я. «Всё очень просто, — ответил школьник. — Пока я держал куб, он двигался во времени — вдоль четвёртого измерения. И в результате сдвинулся настолько, что образовался 4-мерный куб, у которого ребро, идущее вдоль четвёртого измерения, — это отрезок длиной 20 секунд. Вы все, однако, идущего вдоль четвёртого измерения ребра не замети- ли, потому что по четвёртому измерению куб невидим. Однако такое движение вдоль нового измерения легко вообразить, и тогда он станет видимым целиком». Школьник фактически сделал первый шаг в построении n-мерного куба: перешёл от размерности 3 к размерности 4. Сейчас мы совершим аналогичные шаги в этом направлении, в результате чего и получим n-мерный куб. * * * В этой брошюре рассказывается о том, что такое многомерный куб и как определять число его граней разной размерности. Для этого мы соединим, казалось бы, несоединимое — геометрический объект (куб) и алгебраическое выражение (многочлен), взаимодействие которых и даст ответ на наш вопрос. В §  мы обсудим одну арифметическую зако- номерность, объяснение которой даётся кубом с бесконечным числом измерений (или, иначе, бесконечномерным кубом). Оставшаяся часть книги посвящена многим интересным и нетривиальным свойствам многомерного куба, а также их арифметическим, алгебраическим, комбинаторным, статистическим и даже «электрическим» аспектам.