Читать онлайн «Что такое дифференцирование?»

ЗТопцляркые лекции ПО МАТЕМАТИКЕ В. Г. БОЛТЯНСКИЙ ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ? ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА¦1955 ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 17 В. Г. БОЛТЯНСКИЙ ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ? ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1955 ОТ АВТОРА У школьников старших классов, особенно у интересую- интересующихся математикой, физикой, техникой,часто возникает вопрос: что такое «высшая» математика? Иногда подобные вопросы обсуждаются на занятиях школьных математических кружков. В этой книге автор попытался (в форме, доступной уча- учащимся старших классов) объяснить некоторые понятия высшей математики *), такие, как производная, дифференциальное уравнение, число е, натуральный логарифм (чаще всего школьники узнают о существовании двух последних понятий и интересуются ими). Пояснение этих понятий я пытался сделать возможно более наглядным, опираясь на решение задач, взятых из физики. При этом, помимо наглядности, я руководствовался стремлением показать, что понятия «высшей» математики являются математическим отражением свойств реальных процессов, совершающихся в природе, лишний раз показать, что математика связана с жизнью, а не оторвана от нее, что она развивается, а не является неиз- неизменной, завершенной наукой. Не все доказательства и рассуждения, имеющиеся в книге, проведены с полной математической строгостью. Некоторые рассуждения носят характер наглядных пояснений. Такой метод *) С некоторыми понятиями высшей математики читатели могут познакомиться по другим книгам этой же серии: А, И. Марку- шевич, Площади и логарифмы (выпуск 9); И. П. Натансон, Суммирование бесконечно малых величин (выпуск 12). 1* 3 изложения казался мне наиболее подходящим для популяр- популярной книги. Книга может быть использована в работе школьных ма- математических и физических кружков; для ее понимания тре- требуются знания в объеме примерно девяти классов средней школы. Частично материал книги содержался в лекции для школьников, прочитанной автором по просьбе руководителей школьных математических кружков при МГУ. Пользуюсь случаем выразить искреннюю признательность А. И. Маркушевичу и А. 3. Рывкину за их ценные советы и замечания о тексте рукописи. ЗАДАЧА О ПАДЕНИИ ТЕЛА Постановка задачи Первая задача, которую мы рассмотрим, заключается в определении скорости тела, падающего с некоторой высоты на землю. Из курса элементарной физики мы знаем, что тело, па- падающее в пустоте вертикально вниз, имеет через t секунд после начала падения скорость v = vQ-\-gt, A) где v0 — начальная скорость падения, a g — ускорение силы тяжести. При падении тел в воздухе (а не в пустоте) формула A) остается в некоторых случаях приблизительно правильной; в других же случаях она может привести к грубым ошиб- ошибкам. Например, при падении камня с небольшой высоты фор- формула A) применима. Однако при падении тела с очень боль- большой высоты величина скорости может значительно отличаться от выражения A).