Читать онлайн «Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах). Том 2»

Г. М. Фихтенгольц КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ 2 Содержание ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) § 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11 264. Интеграл и задача об определении площади 14 265. Таблица основных интегралов 17 266. Простейшие правила интегрирования 18 267. Примеры 19 268. Интегрирование путем замены переменной 23 269. Примеры 27 270. Интегрирование по частям 31 271. Примеры 32 § 2. Интегрирование рациональных выражений 36 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36 273. Простые дроби и их интегрирование 37 274. Разложение правильных дробей на простые 38 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42 276. Выделение рациональной части интеграла 43 277. Примеры 47 § 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50 278. Интегрирование выражений вида Щ х,т\ . Примеры 50 ^ \ ух + 8 J 279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51 280. Формулы приведения 54 281. Интегрирование выражений вида Я\х,л1ах2 + Ьх + с). Подстановки -^ Эйлера 282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59 283. Примеры 60 284. Другие приемы вычисления 66 285. Примеры 72 § 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и 74 показательную функции 286. Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) dx 74 287. Интегрирование выражений sinv xcosKx 76 288. Примеры 78 289. Обзор других случаев 83 § 5. Эллиптические интегралы 84 290. Общие замечания и определения 84 291. Вспомогательные преобразования 86 292. Приведение к канонической форме 88 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90 ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94 294. Другой подход к задаче о площади 94 295. Определение 96 296. Суммы Дарбу 97 297. Условие существования интеграла 100 298. Классы интегрируемых функций 101 299. Свойства интегрируемых функций 103 300. Примеры и дополнения 105 301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106 § 2. Свойства определенных интегралов 108 302. Интеграл по ориентированному промежутку 108 303. Свойства, выражаемые равенствами 109 304. Свойства, выражаемые неравенствами 110 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115 306. Вторая теорема о среднем значении 117 § 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120 307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120 308. Основная формула интегрального исчисления 123 309. Примеры 125 310. Другой вывод основной формулы 128 311. Формулы приведения 130 312. Примеры 131 313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134 314. Примеры 135 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141 316. Другой вывод формулы замены переменной 143 § 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145 317. Формула Валлиса 145 318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146 319. Трансцендентность числа е 146 320. Многочлены Лежандра 148 321.