Читать онлайн «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы»

АКАДЕМИЯ НАУК СССР И. Лакатос ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ОПРОВЕРЖЕНИЯ Как доказываются теоремы Перевод с английского И. Н. ВЕСЕЛОВСКОГО ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУК Москва 1967 Эта книга, посвященная проблемам математической логики, написана легко, увлекательно и остроумно в виде разговора учителя с ученика- учениками, разбирающими доказательства знаменитой георемы Эйлера о мно- многогранниках и получающихся при этом парадоксах. Ошибки, которые делают ученики, в действительности были допущены различными мате' матиками XIX в. , что раскрывается в подстрочных примечаниях, даю- дающих полную историю вопроса. Кни- Книга может быть прочитана не только математиками, она вполне доступна школьникам старших классов. Ответственный редактор И. Б. ПОГРЕБЫССКИВ 2-2-1 6-67 От переводчика Автор этой книги И. Лакатос, профессор Лондонского экономического училища, является одним из видных дея- деятелей в области математической логики — части матема- математики, особенно быстро развивающейся в наше время. На первой странице английского издания Лакатоса есть по- посвящение: «К 75-летию Георга Полья и 60-летию Карла Поппера». Первый из этих двух ученых хорошо известен в нашей математической литературе книгой «Задачи и теоремы из анализа», составленной им совместно с Г. Се- ге и переведенной в 30-е годы на русский язык профес- профессором Б. А. Райковым. Книга И. Лакатоса является как бы продолжением другой книги Г. Полья — «Математика и допустимые рас- рассуждения» (Лондон, 1954). Разобрав вопросы, касающие- касающиеся возникновения догадки и ее проверки, Полья в сво- своей книге остановился на фазе доказательства; исследованию этой фазы и посвящена предлагаемая вни- вниманию читателей книга Лакатоса. Конечно, автор пресле- преследовал и другие цели, о которых он говорит во введении, но широкому кругу читателей интересно не столько введе- введение, имеющее существенное значение для специалистов, сколько основной текст, понимание которого доступно да- даже школьникам старших классов. Берется простая стерео- стереометрическая теорема, касающаяся соотношения между числами сторон, вершин и граней многогранника, и раз- разбираются ее возможные доказательства. Изложение ве- ведется в двух планах: один из них — это рассказ о разгово- разговорах, возникших среди учеников в связи с обсуждением правильности рассматриваемых доказательств, другой план составляют подстрочные примечания, дающие дейст- действительную историю этих доказательств и вскрывающие ошибки, которые делались при этом математиками XIX в. Диалоги учеников — это по существу и есть наглядное от- отражение этой истории. Таким образом, читатель вводится в рабочую мастерскую математиков, знакомится с созда- созданием доказательств, а не только с окончательными резуль- результатами, излагаемыми в учебниках. Карл Поппер — один из видных представителей нео- неопозитивизма, примыкавший в 30-е годы к «венскому кружку» (Карнап, Рейхенбах и др. ). В послевоенные го- годы он осел в Англии. Поппер если и эволюционировал, то в сторону скептицизма, а в вопросах обоснования ма- математики — в сторону конвенционализма, т.