Читать онлайн «Теория Галуа»

Э. АРТИН ТЕОРИЯ ГАЛУА Перевод с английского А. В. Самохина Москва Издательство МЦНМО 2004 УДК 512 Издание осуществлено при поддержке РФФИ ББК 22. 14 (издательский проект № 02-01-14082). А86 (Y Серия КЛАССИЧЕСКИЕ МОНОГРАФИИ: МАТЕМАТИКА Артин Э. А86. Теория Галуа / Пер. с англ. А. В. Самохина. — М. : МЦНМО, 2004. — 66 с. — (Классические монографии: математика). ISBN 5-94057-062-3 В книге изложены основы теории Галуа. Она написана ясным языком, материал тщательно подобран, ее автор — известный математик. Впервые она была опубликована в 1944 г. и затем неоднократно переиздавалась. Отдельная глава посвящена вопросу о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и построению правильных многогранников с помощью циркуля и линейки. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей. ББК 22. 14 ISBN 5-94057-062-3 © МЦНМО, перев. на русск. яз. , 2004. Предисловие к русскому изданию Эмиль Артин A898—1962) родился в Вене. В возрасте 18 лет он поступил в Венский университет, но проучившись там меньше года, попал в армию. После войны закончил Лейпцигский университет под руководством Герглотца и защитил диссертацию о квадратичных функциональных полях. Наиболее творческие годы он провел, преподавая в Гамбургском университете. Нацизм заставил его, как и множество других замечательных математиков, эмигрировать в 1937 году в Америку, где он создал еще большую научную школу, чем в Германии, особенно за годы преподавания в Принстоне. В 1958 году он вернулся в Гамбург. Артин не был математиком-мономаном. Кроме математики он интересовался механикой, теорией относительности, химией, биологией, астрономией (он показывал ученикам телескоп, сделанный своими руками), хорошо знал и любил музыку (играл на флейте, фортепиано и клавесине). Его вклад в алгебру, теорию чисел и топологию огромен. Он решил семнадцатую проблему Гильберта, открыл расширения Артина—Шрайе- ра, закон взаимности Артина в теории полей классов, создал теорию кос, ввел артиновы кольца и разрешимые группы, предложил функциональный аналог гипотезы Римана (теперь теорема Хассе—Вейля), гипотезу Артина о примитивных корнях, гипотезу Артина о голоморфности L-ря- дов и многое другое. Артин писал: «Математика — это искусство» и относил это в полной мере к книгам по математике. Он автор по меньшей мере шести классических книг: «Теория Галуа», «Кольца с условиями минимальности» (с Несбитом и Траллом), «Геометрическая алгебра» (имеется русский перевод), «Алгебраические числа и алгебраические функции», «Гамма- функция» и «Теория полей классов» (с Тейтом). Мне представляется, что самые замечательные из них — первая и последняя. Первая — перед вами. М. А. Цфасман Глава 1 Линейная алгебра 1. 1. Тела Телом0 называется множество, в котором заданы две операции — умножение и сложение, аналогичные умножению и сложению в множестве действительных чисел (которое является частным случаем тела). В любом теле F существуют однозначно определенные элементы — так называемые 0 и 1, которые взаимодействуют с другими элементами тела относительно операций умножения и сложения так же, как их аналоги в системе действительных чисел.