Читать онлайн «Что такое теория чисел»

НАРОДИМ Я УНИВЕРСИТЕТ Е. П. ОЖИГОВА, кандидат физико-математических наук ЧТО ТАКОЕ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ» Москва 1970 517. 1 0-45 Б. 3. 47—1969 г,—№ 28 Предисловие Эта книга познакомит вас с кругом вопросов, которые решает теория чисел, с некоторыми приемами их решения и основными понятиями. Заметим, что теория чисел часто вызывает интерес простотой постановки ее задач, но затем отпугивает трудностью их решения. Однако именно трудность решения задач теории чисел привлекла к ней Ферма, Эйлера, Лагранжа, Гаусса, Галуа. Э первом и втором разделах говорится о предмете, методах и приложениях этой науки, в третьем и четвертом даны краткие исторические сведения. Остальные разделы посвящены изложению отдельных вопросов теории чисел, представляющих самостоятельный интерес и доступных для читателя, незнакомого Q высшей математикой» Что такое теория чисел? Если задать этот вопрос современным математикам, они ответят на него по-разному. Один скажет: теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. Другой ответит: это просто часть теории вероятностей. Третий заговорит непонятным языком: теория чисел — это теория алгебраических чисел, теория алгебраических функций с конечным полем констант и аналитическая теория чисел. Четвертый скажет: теория чисел? Да ее вообще не существует! Пятый не станет пытаться определять теорию чисел, а посоветует ознакомиться с задачами, которые она решает, и с методами, которыми она пользуется. В каждом из этих ответов есть доля истины. Действительно, теория чисел занимается изучением свойств целых чисел, но она занимается и свойствами других чисел: алгебраических, трансцендентных. Правда, что ее задачи часто решают с помощью теории вероятностей. Если говорить о настоящем времени, то, действительно, сейчас теория чисел расширилась до такой степени, что превратилась во множество новых дисциплин — в современную алгебру, в геометрию чисел, в вероятностную теорию чисел и т. д. Даже самостоятельных кафедр теории чисел в университетах и педагогических институтах почти не осталось. Как же ответить на этот вопрос? Мы будем различать теорию чисел, понимая под этим науку о свойствах целых чисел, и современную теорию чисел, возникшую из первой в связи с расширением понятия целого числа и с новыми методами. Эта современная теория чисел уже не является единой наукой и распадается на разделы, относящиеся к различным областям математики. С тем же основанием, с каким говорят, что теории чисел теперь не существует, можно было бы сказать, что почти вся современная математика — это расширенная теория чисел. В этой брошюре мы коснемся теории чисел и некоторых Истоков современной теории чисел. О значении теории чисел писали многие выдающиеся математики. Приведем высказывания двух великих ученых XVIII в. — Леонарда Эйлера и Жозефа Лагранжа. Заметим, что теорию чисел часто называли «арифметикой» или «высшей арифметикой», 4 В «Лекциях по математике» (1795) Лаграиж писал: «Один древний говорил, что Арифметика и Геометрия — крылья MiaT/ематики.