Читать онлайн «Фрактальная логика»
Автор Владислав Тарасенко
е предпосылки фрактальной логики
1. 1 Математические “монстры” - примеры и проблемы
1. 2 Логические парадоксы – примеры и проблемы
1. 3 “Монстры” и парадоксы – неслучайные совпадения.
1. 4 Исторический очерк фрактальной геометрии
1. 5 Принцип дополнительности фрактальной геометрии
1. 6 Парадоксы как фракталы. Фрактальная логика: обратная связь как модель “монстров” и парадоксов
1. 7 Парадокс лжеца: логический формализм через понятие обратной связи.
Глава 2 Логические ряды и логические фракталы
2. 1 Определение логического ряда. Виды рядов.
2. 2 Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.
2. 3 Операции с логическими рядами
2. 4 Кортежи, масштабы и инварианты логических рядов. Самоподобие. Определение регулярного логического фрактала.
2. 5 Формализм масштабного преобразования. Определение преобразованных логических фракталов.
2. 6 Монады. Монадология.
2. 7 Тезис о построении логического фрактала через два типа обратных связей
2. 8 Количественные характеристики логических фракталов
Послесловие: проблемы и задачи фрактальной логики
Глава 1 Исторические предпосылки фрактальной логики
Математические “монстры” - примеры и проблемы
Рассмотрим построение триадной кривой, которую впервые исследовал в 1904 году шведский математик Хельге фон Кох (рисунок 1. 1. 1).
Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой. Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть, и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3 таким образом, чтобы средняя часть оказалась основанием равностороннего треугольника со стороной 1/3. Мы получили ломаную, состоящую из четырех звеньев с общей длиной 4/3 – так называемое первое поколение.
Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена аналогично отбросить и заменить среднюю часть.
Соответственно, длина второго поколения будет равна 16/9, третьего – 64/27 и так далее.
Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.
Рассмотрим свойства этой кривой.
Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с увеличением числа поколений ее длина стремится к бесконечности.
Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную – каждая ее точка является точкой перегиба (особой точкой или сингулярностью), в которой производная не существует - эта кривая не гладкая.
Длина и гладкость – фундаментальные свойства кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и неевклидовыми геометриями типа геометрий Лобачевского или Римана. На основании этих свойств развиваются методы анализа и преобразования геометрических фигур.
К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Поэтому, кривая Коха оказалась чудовищем – “монстром” среди гладких обитателей традиционных геометрий.
Одним из первых, кто досконально начал изучать “монстров” был Карл Вейерштрасс. Вслед за Бернардом Больцано, опубликовавшем в 1851 году книгу "Парадоксы бесконечности", он привел пример функции, графиком которой была негладкая кривая, обратив внимание на то, что понятие “непрерывная функция” и “непрерывная функция имеющая в каждой точке производную” не являются тождественными.
18 июля 1872 года в докладе Берлинской академии наук Вейерштрасс доложил пример негладкой непрерывной функции.
1. 1 Математические “монстры” - примеры и проблемы
1. 2 Логические парадоксы – примеры и проблемы
1. 3 “Монстры” и парадоксы – неслучайные совпадения.
1. 4 Исторический очерк фрактальной геометрии
1. 5 Принцип дополнительности фрактальной геометрии
1. 6 Парадоксы как фракталы. Фрактальная логика: обратная связь как модель “монстров” и парадоксов
1. 7 Парадокс лжеца: логический формализм через понятие обратной связи.
Глава 2 Логические ряды и логические фракталы
2. 1 Определение логического ряда. Виды рядов.
2. 2 Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.
2. 3 Операции с логическими рядами
2. 4 Кортежи, масштабы и инварианты логических рядов. Самоподобие. Определение регулярного логического фрактала.
2. 5 Формализм масштабного преобразования. Определение преобразованных логических фракталов.
2. 6 Монады. Монадология.
2. 7 Тезис о построении логического фрактала через два типа обратных связей
2. 8 Количественные характеристики логических фракталов
Послесловие: проблемы и задачи фрактальной логики
Глава 1 Исторические предпосылки фрактальной логики
Математические “монстры” - примеры и проблемы
Рассмотрим построение триадной кривой, которую впервые исследовал в 1904 году шведский математик Хельге фон Кох (рисунок 1. 1. 1).
Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой. Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть, и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3 таким образом, чтобы средняя часть оказалась основанием равностороннего треугольника со стороной 1/3. Мы получили ломаную, состоящую из четырех звеньев с общей длиной 4/3 – так называемое первое поколение.
Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена аналогично отбросить и заменить среднюю часть.
Соответственно, длина второго поколения будет равна 16/9, третьего – 64/27 и так далее.
Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.
Рассмотрим свойства этой кривой.
Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с увеличением числа поколений ее длина стремится к бесконечности.
Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную – каждая ее точка является точкой перегиба (особой точкой или сингулярностью), в которой производная не существует - эта кривая не гладкая.
Длина и гладкость – фундаментальные свойства кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и неевклидовыми геометриями типа геометрий Лобачевского или Римана. На основании этих свойств развиваются методы анализа и преобразования геометрических фигур.
К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Поэтому, кривая Коха оказалась чудовищем – “монстром” среди гладких обитателей традиционных геометрий.
Одним из первых, кто досконально начал изучать “монстров” был Карл Вейерштрасс. Вслед за Бернардом Больцано, опубликовавшем в 1851 году книгу "Парадоксы бесконечности", он привел пример функции, графиком которой была негладкая кривая, обратив внимание на то, что понятие “непрерывная функция” и “непрерывная функция имеющая в каждой точке производную” не являются тождественными.
18 июля 1872 года в докладе Берлинской академии наук Вейерштрасс доложил пример негладкой непрерывной функции.
