Читать онлайн «Индукция в геометрии»

Лопцляр ные л е\гции ПО МАТЕ МАТИКЕ ЛИ. ГОЛОВИНА и И. МЯГЛОМ ИНДУКЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ ФИЗМАТГИЗ»1961 ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 21 Л. И. ГОЛОВИНА и И. М. ЯГЛОМ ИНДУКЦИЯ В ГЕОМЕТРИИ ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1Э61 11-3-1 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 4 Введение: Что такое метод математической индукции? (приме- (примеры 1—4, задачи 1—2) 5 § 1. Вычисление по индукции (примеры 5—9, задачи 3—5) ... 10 § 2. Доказательство по индукции (примеры 10—19, задачи 6—13). 17 § 3. Построение по индукции (примеры 20—23, задачи 14—16) . 43 § 4. Нахождение геометрических мест по индукции (примеры 24—25, задачи 17—23) " 52 § 5. Определение по индукции (примеры 26—27, задачи 24—32) . 59 § 6. Индукция по числу измерений (примеры 28—37, задачи 33—40) 72 1. Вычисление с помощью индукции по числу измерений (пример 28, задача 33) 76 2. Доказательство с помощью индукции по числу измерений (примеры 29—35, задачи 34—39) 79 3. Нахождение геометрических мест с помощью индукции по числу измерений (пример 36) 95 4. Определение с помощью индукции по числу измерений (пример 37, задача 40) 98 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книжка, рассчитанная в первую очередь на уча- учащихся старших (9-го и 10-го) классов средней школы, учи- учителей математики и студентов физико-математических факуль- факультетов пединститутов, примыкает к книжке И. С. Соминского «Метод математической индукции», составляющей 3-й выпуск серии «Популярные лекции по математике», и может рассмат- рассматриваться как ее продолжение; тем читателям, которые зна- знакомы с книжкой И. С. Соминского, она будет особенно инте- интересна. Книжка содержит 37 примеров, решения которых подробно разобраны, и 40 задач, сопровождаемых краткими указаниями. Она посвящена разнообразным применениям метода матема- математической индукции к решению геометрических задач. Наиболее поучительны здесь, по нашему мнению, различные аспекты метода математической индукции; отдельные (но, разумеется, не все) примеры и задачи могут также представлять и опре- определенный самостоятельный интерес. В основу книжки положены две лекции, прочитанные И. М. Ягломом московским школьникам — участникам школь- школьного математического кружка при Московском государствен- государственном университете. Л. И. Головина И, М, Яглом ВВЕДЕНИЕ: ЧТО ТАКОЕ МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ? Индукцией называется всякое рассуждение, содержа- содержащее переход от частных утверждений к общим, справедли- справедливость которых выводится из справедливости частных утвер- утверждений. Метод математической индукции есть особый метод математического доказательства, позволяющий на основании частных наблюдений делать заключения о соот- соответствующих общих закономерностях. Идею этого метода проще всего уяснить себе на примерах. Мы начнем поэтому с рассмотрения следующего примера. Пример 1. Определить сумму п первых нечетных чисел 1+3 + 5 + ... + Bя—1). Решение. Обозначив эту сумму через S(n), положим п = 1, 2, 3, 4, 5; тогда будем иметь: 3 = 4, 3-р5 = 5B)=1 5C) = 1. 5D)=1 5E) = 1 •3- ¦ 5 + 7=16, 3 + 5 + 7 + 9 = 25.