Читать онлайн «Лекции по классической дифференциальной геометрии»

Лекции по классической дифференциальной геометрии. А. О. Иванов, А. А. Тужилин 17 декабря 2001 Содержание 1 Кривые в евклидовом пространстве. Плоские кривые 1 2 Кривые в трехмерном пространстве 16 3 Поверхности. Первая фундаментальная форма 21 3. 1 Определение поверхностей 21 3. 2 Три способа задания поверхностей 23 3. 3 Кривые, координатные линии, касательное пространство и канонический репер на регулярной поверхности 25 3. 4 Индуцированная метрика или первая фундаментальная форма регулярной поверхности 28 3. 5 Изометрии поверхностей 35 4 Поверхности. Вторая фундаментальная форма 38 4. 1 Определение второй квадратичной формы регулярной поверхности 38 4. 2 Геометрический смысл второй формы — кривизны плоских сечений 41 4. 3 Главные кривизны и главные направления 44 4. 4 Средняя и гауссова кривизна гиперповерхности 48 4. 5 О выборе координат на поверхности 52 4. 6 Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны 54 4. 7 О теореме Бонне 57 5 Элементы дифференциального исчисления на поверхностях 58 5. 1 Деривационные формулы Вейнгартена-Гаусса 59 5. 2 Теорема Гаусса 62 1 2 5. 3 Абсолютная и ковариантная производная касательного векторного поля 65 5. 4 Геодезические 69 5. 5 Экстремальные свойства геодезических 76 6 Криволинейные координаты в области и на поверхности 79 6. 1 Определение криволинейной системы координат 80 6. 2 Примеры криволинейных систем координат 82 6. 2. 1 Евклидовы координаты 82 6. 2. 2 Линейная система координат 82 6. 2. 3 Полярная система координат 83 6. 2. 4 Цилиндрическая система координат 83 6. 2. 5 Сферические координаты 83 6. 3 Касательное пространство к области в точке 84 6. 4 Евклидова метрика в криволинейных координатах 86 6. 4. 1 Закон изменения компонент метрики при замене координат 86 6. 4. 2 Примеры вычисления евклидовой метрики 87 6. 5 Криволинейные координаты на поверхностях 87 6. 6 Стереографические координаты на сфере 88 7 Риманова и псевдориманова метрики 92 8 Геодезические и кривизна 99 8. 1 Нормальные координаты 99 8. 2 Полугеодезические координаты на двумерной поверхности . . 102 8. 3 Двумерные поверхности постоянной гауссовой кривизны . . . 104 9 Геометрия Лобачевского 109 9. 1 Неевклидовы геометрии 109 9. 1. 1 Эллиптическая геометрия 110 9. 1. 2 Плоскость Лобачевского (гиперболическая геометрия) 111 9. 1. 3 Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского 112 9. 2 Дробно линейные преобразования плоскости 113 9. 3 Запись метрики в комплексной форме 118 9. 4 Модель верхней полуплоскости 119 9. 5 Изометрии плоскости Лобачевского 120 9. 6 Расстояния между точками и треугольники на плоскости Лобачевского 124 ЮЭлементы общей топологии 130 10. 1 Метрические и топологические пространства 130 10. 1. 1 Метрические пространства 130 10. 1. 2 Топологические пространства 135 3 10. 2 Непрерывные отображения 139 10. 3 Связность, отделимость, компактность 143 10. 3. 1 Связность 143 10. 3. 2 Аксиомы отделимости 145 10. 3. 3 Компактность 147 11 Функциональная отделимость и разбиение единицы 150 11. 1 Функциональная отделимость 150 11. 2 Разбиение единицы 153 12Многообразия 154 12. 1 Топологические многообразия 155 12. 2 Функции и отображения 156 12. 3 Гладкие многообразия 157 12. 4 Первые примеры гладких многообразий 159 12. 5 Задание структуры гладкого многообразия на множестве . . 160 12. 6 Гладкие функции, гладкие отображения, диффеоморфизмы . 161 12. 7 Задание многообразий уравнениями — геометрический смысл теоремы о неявной функции 164 12. 8 Подмногообразия 168 13Касательное пространство к многообразию. 169 13. 1 Определение касательного вектора 169 13. 2 Касательное расслоение 175 14Дифференциал отобралсения, погружения и влолсения 177 14. 1 Определение дифференциала 177 14. 2 Локальные свойства отображений и дифференциал 178 14. 2. 1 Субмерсии 178 14. 2. 2 Погружения и влолсения 180 15Влолсения многообразий в евклидово пространство 184 15. 1 Существование вложения 184 15. 2 Теорема Сарда 187 15. 3 Теорема Уитни 190 16Римановы многообразия 193 16. 1 Подмногообразия евклидового пространства 193 16. 2 Общий случай 195 16. 3 Индуцированная метрика 198 16. 4 Изометрии 199 170риентируемость многообразия 200 17. 1 Два определения ориентируемого многообразия 200 Кривые на плоскости. 4 18Классификация связных двумерных компактных замкнутых многообразий 206 18. 1 Склейки многоугольников 206 18. 2 Заклеивание сферы 208 18. 3 Теорема классификации 209 18. 3. 1 Триангуляции 210 18. 3. 2 Канонические склейки многоугольников 211 18. 3. 3 Последний шаг, Эйлерова характеристика. . . . 211 1 Кривые в евклидовом пространстве.