Читать онлайн «Познакомьтесь с топологией»

МИР ЗНАНИЙ ^—^^V^B^^^^^^ А, А. САРКИСЯН, Ю. М. КОЛЯГИН Познакомьтесь •J с топологией (НА ПОДСТУПАХ к ТОПОЛОГИИ) Книга для внеклассного чтения VIII—X классы МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1976 517. 6 С 20 Саркисян А. А. и Колягин Ю. М. С 20 Познакомьтесь с топологией (на подступах к топологии). Книга для внеклассного чтения. VIII-^ X классы. М. , «Просвещение», 1976. 79 с. с ил. (Мир знаний). В книге рассмотрены вопросы и занимательные вадачи, примыкающие к топологии (задачи об уникурсальных фигурах, узлах, лабиринтах) и некоторые простейшие вопросы теории графов, раскраски карты и т. д. Издательство «Просвещенке», 1976г, ВВЕДЕНИЕ Ответить на вопрос о том, что такое топалогия, в^ыла не просто. Для того чтобы в полной мере оц^и'П» за-, дачи, которые решаются этой научной ;]д^циплин(А, н&* обходимо серьезное изучение многих весьма сложных вопросов математики. В этой небольшой кннге мы не будем ставить себе целью получить сколько-нибудь полный от^т на этот вопрос. Главное, что мы попытаемся сделать —» это рассмотреть некоторые примыкающие к тополопш математические факты и показать, ч^то многие вз нкх могут быть использованы при решении интересных эадач, вз- вестных под названием «занимательных». Именно с рассмотрения таких задач мы и начнем. Будем надеяться, что после прочтения этой книги у вас возникнет желание заняться изучением топологии всерьез и надолго. 1. УНИКУРСАЛЬНЫЕ ФИГУРЫ К XVIII в. через реку Прегель, протекавшую по горо^ Кенигсберг (Калиниград), было построено 7 мостов, которые связывали ее берега с двумя островами^ раенолсшсея- ными в черте города (рис, 1). Рассказывают, что однажды рдин аз жцтелей города спросил у своеп) соседа» сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать лишь один раз и вернуться к тому месту, откуда начал прогулку. Рис. 1 Рис. 2 Этой задачей заинтересовались многие, однако решить ее никто из жителей города так и не смог. В дальнейшем задача привлекла внимание ученых разных стран. Решить ее удалось в 1736 г. известному швейцарскому математику Л. Эйлеру, который в то время работал в Петербурге и не приезжал в Кенигсберг. Причем Л. Эйлер не только решил эту задачу, но и сумел найти общий метод решения аналогичных задач. Решая задачу о семи мостах, Эйлер поступил следующим образом. Он изобразил точками В ж С берега реки, точками А nD острова, а линиями — мосты, соединяющие соответствующие участки берегов и островов. В результате получилась фигура, приведенная на рисунке 2. Таку^ю фигуру называют графом^ точки, А, В, С, D называют вершинами графа, а отрезки кривых, соединяющие вершины,— дугами (ребрами) графа. Эйлер подсчитал число дуг, исходящих из каждой вершины графа (рис. 2). Из вершин В, С ж D исходит по три дуги, а из вершины А — пять дуг. Вершины графа, из которых исходит нечетное число дуг, он назвал нечетными вершинами, а вершины, из которых исходит четное число дуг,— четными. Все вершины данного графа оказались нечетными. В ходе решения этой задачи Эйлер установил следующие четыре свойства графа Ч 1.