Читать онлайн «Решение уравнений в целых числах»

А. О. Гельфонд Решение уравнений в целых числах  ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к первому изданию 3 Введение 5 § 1. Уравнения с одним неизвестным 8 § 2. Уравнения первой степени с двумя неизвестными 9 § 3. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными 19 2 2 §4. Уравнения вида х -Ау = 1. Нахождение всех решений этого уравнения 24 § 5. Общий случай уравнения второй степени с двумя неизвестными 35 § 6. Уравнения с двумя неизвестными степени выше второй 47 § 7. Алгебраические уравнения степени выше второй с гремя 53 неизвестными и некоторые показательные уравнения  ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ . В основу этой книги положена лекция по уравнениям в целых числах, прочитанная мною в 1951 г. на матема- тической олимпиаде в МГУ. Я пользуюсь здесь случаем выразить благодарность за оказанную мне помощь моему ученику, доценту Н. М. Коробову, написавшему по кон- спекту моей лекции первый, второй и часть третьего параграфа. Книга доступна школьникам старших классов. А. Гельфонд  ВВЕДЕНИЕ Теория чисел изучает в основном арифметические свой- ства чисел натурального ряда, другими словами — целых положительных чисел, и принадлежит к числу старейших отделов математики. Одной из центральных задач так назы- ваемой аналитической теории чисел является задача о распределении простых чисел в натуральном ряде. Простым числом называется любое целое положительное число, большее единицы, делящееся без остатка только на себя и единицу. Задача о распределении простых чисел в на- туральном ряде заключается в изучении правильности по- ведения числа простых чисел, меньших некоторого числа N, при больших значениях N . Первый результат в этом на- правлении мы находим ещё у Евклида (IV век до н. э. ), именно доказательство бесконечности ряда простых чисел, а второй результат после Евклида был получен великим русским математиком П. Л. Чебышевым во второй поло- вине XIX века. Другая основная задача теории чисел — это задача о представлении целых чисел суммами целых чи- сел определённого типа, например проблема представле- ния нечётных чисел суммой трёх простых чисел. По- следняя проблема, проблема Гольдбаха, была решена сравнительно недавно крупнейшим современным предста- вителем теории чисел — советским математиком И. М. Ви- ноградовым. Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена также одному из наиболее интересных разделов теэрии чисел, а именно, — решению уравнений в целых числах. Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел. Этими задачами много занимались самые выдаю- щиеся . математики древности, например греческий матема- тик Пифагор (VI век до н. э. ), александрийский матема- тик Диофант (II —III век н.