Читать онлайн «Математический анализ (часть 1)»

В. А. Зорин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть I Издание шестое, дополненное Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов математических и физико-математических факультетов и специальностей высших учебных заведений Москва Издательство МЦНМО 2012 УДК 517 ББК 22. 16 386 Рецензенты: Отдел теории функций комплексного переменного Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук. Заведующий отделом академик А. А. Гончар. Академик В. И. Арнольд. Зорич В. А. 386 Математический анализ. Часть I. — 6-е изд, дополи. —М. : МЦНМО, 2012. — XVIII + 702C. Библ. : 55 назв. Илл. : 65. ISBN 978-5-94057-891-8 ISBN 978-5-94057-892-5 (часть I) Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений. Предыдущее издание книги вышло в 2007 г. ББК 22. 16 ISBN 978-5-94057-892-5 9И785940И578925И> ISBN 978-5-94057-891-8 ISBN 978-5-94057-892-5 (часть I) ©В. А. Зорич, 2001, 2002, 2007, 2012 ©МЦНМО, 2001, 2002, 2007, 2012 «Полная строгость изложения соединена с доступностью и полнотой, а также воспитанием привычки иметь дело с реальными задачами естествознания. » Из отзыва академика А. Н. Колмогорова о первом издании учебника ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к шестому изданию X Предисловия к пятому и третьему изданиям XI Предисловие ко второму изданию XII Из предисловия к первому изданию XIV Глава I. Некоторые общематематические понятия 1 § 1. Логическая символика 1 1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (3). 3. Некоторые специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (4). Упражнения 5 § 2. Множества и элементарные операции над множествами 5 1. Понятие множества (5). 2. Отношение включения (8). 3. Простейшие операции над множествами (9). Упражнения 12 §3. Функция 13 1. Понятие функции (отображения) (13). 2. Простейшая классификация отображений (18). 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения (20). 4. Функция как отношение. График функции (22). Упражнения 26 IV ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Некоторые дополнения 29 1. Мощность множества (кардинальные числа) (29). 2. Об аксиоматике теории множеств (32). 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств (34). Упражнения 37 Глава И. Действительные (вещественные) числа 40 § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 41 1. Определение множества действительных чисел (41). 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел (45). 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (50). §2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 52 1. Натуральные числа и принцип математической индукции (52). 2. Рациональные и иррациональные числа (56). 3. Принцип Архимеда (60). 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами (62).