Читать онлайн «Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения»

Современные ЛЕКЦИОННЫЕ КУРСЫ А. А. Болибрух Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения мцнмо Москва 2000 УДК 517. 927. 7,514. 762. 5 Б79 Болибрух А. А. Б79 Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные рас- слоения. —М: МЦНМО, 2000. — 120 с. ISBN 5-900916-69-3 В лекциях начала аналитической теории дифференциальных урав- нений излагаются с точки зрения расслоений с мероморфными связ- ностями на римановой сфере. Этот подход позволяет добиться зна- чительного прогресса в решении таких знаменитых старых задач, как проблема Римана—Гильберта и задача о Биркгофовой стандартной форме, исследованию которых и посвящена книга. Лекции, начинающиеся с основ теории и требующие от читателя знакомства лишь со стандартными курсами обыкновенных дифферен- циальных уравнений и комплексного анализа, выводят его на передний край этой бурно развивающейся в последнее время области математи- ки, имеющей важные приложения к задачам математической физики. УДК 517. 927. 7, 514. 762. 5 ISBN 5-900916-69-3 © МЦНМО, 2000  Введение Настоящее издание является обработкой семестрового спецкурса с тем же названием, который читался мною в разные годы в Московском физико-техническом институте, в университетах городов Ниццы и Страсбурга, а также в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Чтение этого спецкурса преследовало следующие цели: — познакомить студентов физиков и аналитиков с понятиями рас- слоения и связности и показать, как эти понятия эффективно исполь- зуются в аналитической теории дифференциальных уравнений; — рассказать о некоторых старых задачах аналитической теории дифференциальных уравнений (проблема Римана—Гильберта, задача о Биркгофовой стандартной форме), продвижение в исследовании кото- рых в самое последнее время было связано с применением простейших алгебро-геометрических методов; — подготовить слушателей к спецкурсу об изомонодромных дефор- мациях, который обычно читался в следующем после чтения настоя- щего спецкурса семестре. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений бы- ла, в основном, создана трудами математиков 19-го столетия, и к концу первой четверти 20-го века основные задачи этой теории, такие как проблема Римана—Гильберта или задача о Биркгофовой стандартной форме, считались решенными положительно. В каком-то смысле эта математическая дисциплина оказалась на некоторое время на перифе- рии развития математики. Однако после открытия в начале 1970-х годов метода изомоно- дромных деформаций аналитическая теория дифференциальных урав- нений получила новый мощный импульс к своему развитию. Оказа- лось, что многие знаменитые нелинейные уравнения математической физики могут быть проинтерпретированы как уравнения изомонодром- ных деформаций систем линейных дифференциальных уравнений. При этом важную информацию о поведении решений этих уравнений мож- но получить, исследуя соответствующие изомонодромные деформации линейных систем и, в частности, фуксовых систем дифференциаль- I--7. S73 4 ВВЕДЕНИЕ ных уравнений.