Читать онлайн «Функциональный анализ»

В. И. Богачев ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ £ £72 Православный Свято-Тихоновский гуманитарный университет В. И. Богачев ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие БИБЛИОТЕКА ПРАВОСЛАВНОГО СВЯТО-ТИХОНОВСКОГО ГУМАНИТАРНОГО УНИВЕРСИТЕТА МОСКВА ' шкерснтет Москва Издательство ПСТГУ 2011 УДК 517. 98(075. 8) ББК 22. 16я73 Б73 Издается в авторской редакции Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Математика» (010100), «Фундаментальная информатика и информационные технологии» (010300), «Прикладная математика и информатика» (010400), «Механика и математическое моделирование» (010800). Богачев В. И. Б73 Функциональный анализ: учебное пособие / В. И. Бога¬ чев. - М. : Изд-во ПСТГУ, 2011. - 396 с. ISBN 978-5-7429-0669-8 Книга является учебным пособием по курсу функционального ана¬ лиза для студентов, обучающихся по специальностям «Математика» (010100), «Математическое обеспечение и администрирование информа¬ ционных систем» (010500), «Прикладная математика и информатика» (010400), «Фундаментальная информатика и информационные техноло¬ гии» (010300), «Прикладная математика» (657100), «Механика» (010800), а также близким к ним по общематематической программе инженерно- физическим специальностям. Представлены все основные разделы кур¬ са, в том числе интеграл Лебега, банаховы и гильбертовы пространства, линейные функционалы и операторы, обобщенные функции и элемен¬ ты нелинейного анализа. Подробное изложение сопровождается большим числом примеров. Даны задачи для самостоятельной работы. Пособие предназначено как студентам, так и преподавателям университетов. УДК 517. 98(075. 8) ББК 22. 16я73 ISBN 978-5-7429-0669-8 © Богачев В. И. , 2011 © Оформление. Издательство Православного Свято-Тихоновского гуманитарного университета, 2011 Оглавление Предисловие 7 Глава 1. Мера и интеграл Лебега 11 §1. 1. Алгебры и а-алгебры множеств 11 § 1. 2. Аддитивность и счетная аддитивность 22 § 1. 3. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 30 §1. 4. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса 40 § 1. 5. Измеримые функции 48 §1. 6. Сходимость почти всюду и по мере 56 §1. 7. Интеграл Лебега 61 § 1. 8. Предельный переход под знаком интеграла 69 § 1. 9. Классы L1 и /А 78 §1. 10. Разложение мер и теорема Радона-Никодима 85 §1. 11. Произведение мер и теорема Фубини 91 § 1. 12. Функции ограниченной вариации 99 § 1. 13. Абсолютно непрерывные функции 105 §1. 14. Формула Ньютона-Лейбница 109 § 1. 15. Формулы замены переменных 111 § 1. 16. Задачи 119 Глава 2. Метрические пространства 125 § 2. 1. Основные понятия и примеры 125 § 2. 2. Полные пространства и пополнения 134 § 2. 3. Теорема о вложенных шарах 138 § 2. 4. Непрерывные отображения 140 4 Оглавление § 2. 5. Принцип сжимающих отображений 144 § 2. 6. Компактные множества 146 § 2. 7. Критерии компактности 152 § 2. 8. Задачи 155 Глава 3. Гильбертовы и банаховы пространства ... . 159 §3. 1. Линейные пространства 159 § 3. 2. Нормированные и евклидовы пространства 165 § 3. 3. Конечномерные пространства 173 § 3. 4.