Читать онлайн «Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах). Том 1»

М. Атья ЛЕКЦИИ ПО К-ТЕОРИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1967 Лекции известного английского математика М. Ф. Атья, удостоенного Филдсовской медали 1966г. , посвящены одному из самых мощных средств современной алгебраической топологии — теории К-функтора. С помощью этой теории недавно были решены многие трудные задачи из разных областей математики. Понятие К-функтора возникло в самое последнее время и опирается на различные факты из теории расслоенных пространств, топологии многообразий и гомологической алгебры. Лекции вполне доступны студентам-математикам второго-третьего курсов. В приложение к книге включен перевод лекций М. Атья и Г. Сегала по KG- теории, а также ряд недавних статей, посвященных разным вариантам и обобщениям К-теории. Книга представляет интерес для математиков всех специальностей и будет полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие редактора перевода 5 М. Атья. Лекции по Х-теории. Перевод В. М. Бухштабера 7 Глава 1. Векторные расслоения 7 Глава 2. Х-теория 3 8 Глава 3. Когомологические операции в Х-теории 93 Дополнение. Пространство операторов Фредгольма 121 Приложение 131 I. М. Атья, Г. Сегал. Эквивариантная Х-теория. Перевод В. Н. 131 Решетникова Лекция 1. Векторные G-расслоения 131 Лекция 2. Элементарные свойства функтора KG 139 Лекция 3. Дальнейшие свойства функтора KG 156 Лекция 4. Теоремы целочисленности, 1 165 Лекция 5. Теоремы целочисленности, 11 173 Лекция 6. Аналитический индекс 188 Лекция 7. Пополнения 196 П. М. Атья. К-теория и вещественность. Перевод Д. Б. Фукса 206 III. М. Атья. О К-теории компактных групп Ли. Перевод А. А. Кириллова 234 ГУ. Н. Кюипер. Гомотопический тип унитарной группы гильбертова 241 пространства. Перевод В. М. Бухштабера Предисловие редактора перевода Современная алгебраическая топология создала новые мощные методы, позволившие до конца решить многие давно стоявшие проблемы как в области самой топологии, так и в других областях математики. Одним из таких ме- методов является А'-теория, построенная в основном в ра- работах молодого английского математика Майкла Ф. Атья, награжденного Филдсовской медалью на Международном конгрессе математиков (Москва, 1966 г. ). Содержание А'-теории состоит в построении и изуче- изучении так называемого А"-функтора, сопоставляющего каж- каждому топологическому пространству X некоторое кольцо К (X) и каждому непрерывному отображению /: X —> Y гомоморфизм соответствующих колец К (/): К (К) —> К (X). Таким образом, А"-теория развивает идеи теории пучков и групп когомологий и позволяет свести ряд новых задач анализа и топологии к алгебраическим задачам. Основу этой книги составляет перевод лекций, кото- которые М. Ф. Атья читал в Гарвардском университете. Лек- Лекции рассчитаны на студентов, имеющих лишь минимальную подготовку в области топологии (т. е. владеющих поня- понятиями топологического пространства и непрерывного ото- отображения). В этих лекциях дается изложение А"-теории (включая теорему периодичности Ботта) с полными (хотя часто очень сжатыми) доказательствами.