Читать онлайн «Теория вероятностей»

Что было, а также чего не было, но что вполне могло бы быть прочитано в курсе лекций под названием ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1 курс ЭФ, отделение «математические методы и исследование операций в экономике» весенний семестр 1998-99 уч. года Чернова Н. И. — Знаете что, милый Арамис? — сказал д'Артаньян, ненавидевший стихи почти так же сильно, как латынь. — Добавьте к достоинству трудности достоинство краткости, и вы сможете быть уверены в том, что ваша поэма будет иметь никак не менее двух достоинств. Раздел 1. Классическая вероятностная схема 1. 1 Основные формулы комбинаторики В данном разделе мы займемся подсчетом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько различных результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки, двух кубиков и т. д. ). Число шансов — это число таких возможных результатов, или, иначе говоря, число способов проделать это действие. Теорема о перемножении шансов Теорема 1. Пусть имеется к, к е N, групп элементов, причем %-я группа содержит щ элементов, 1 ^ % ^ к. Выберем из каждой группы по одному элементу. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется N = щ ■ п2 ■... ■ пи- Замечание 1. В теореме 1 считается, что даже если все элементы в г-й группе неразличимы, выбрать один из них можно щ способами. Представим результат выбора, описанного в теореме 1, в виде набора (а\,... , а^), в котором а^ — выбранный из г-й группы элемент. Тогда общее число различных наборов (а\,... , а^) также равняется N = П\ ■ П2 ■ ■ ■ ■ ■ Пк- Доказательство теоремы 1. Занумеруем элементы г-й группы числами от 1 до П{. Элемент из первой группы можно выбрать щ способами. Если мы выбрали элемент j, 1 ^ j ^ п\, то выбрать элемент из второй группы мы можем «2 способами. Получаем, что с первым элементом j возможно составить П2 пар (j,l), где 1 ^ / ^ П2- Но столько же пар можно составить и с любым другим элементом первой группы. Тогда всего пар, в которых первый элемент выбран из первой группы, а второй — из второй, существует ровно п\ ■ П2- Иначе говоря, есть п\ • П2 способов выбрать по одному элементу из первых двух групп. Возьмем одну такую пару (j,l). Заметим, что элемент из третьей группы можно выбрать пз способами, то есть возможно составить ровно пз троек (j,l,m), добавляя к данной паре (j, l) любой из пз элементов третьей группы. Но столько же троек можно составить и с любой другой парой (j,l). Тогда всего троек, в которых первый элемент выбран из первой группы, второй — из второй, а третий — из третьей, существует ровно щ ■ щ • пз. Продолжая рассуждения, методом математической индукции заключаем справедливость утверждения теоремы. □ Упражнение 1. Сформулировать предположение индукции и доказать индукционный переход от к — 1 к /г. п\ п2 1 Урны и шарики Есть урна (то есть ящик), содержащая п занумерованных объектов, которые мы без ограничения общности будем считать шариками. Мы выбираем из этой урны к шариков. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать к шариков из п, или сколько различных результатов (то есть наборов, состоящих из к шариков) получится.