Читать онлайн «Уравнения математической физики»

С. Л. Вывод основных уравнений 9 § 1. Формула Остроградского 9 § 2. Уравнение колебаний струны 11 § 3. Уравнение колебаний мембраны 14 § 4. Уравнение неразрывности при движении жидкости и урав- уравнение Лапласа 16 § 5. Уравнение передачи тепла 19 § 6. Звуковые волны 23 Лекция П. Постановка задач математической физики. Пример Адамара 28 § 1. Начальные и краевые условия 28 § 2. Зависимость решения от предельных условий Пример Ада- Адамара 32 Лекция III. Классификация линейных уравнений 2-го порядка 39 § 1. Линейные уравнения и квадратичные формы. Канонический вид уравнения 39 § 2. Канонический вид уравнений с двумя независимыми пере- переменными 44 § 3. Второй канонический вид гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными 47 § 4. Характеристики 48 Лекция IV. Уравнение колебаний струны и его решение методом Даламбера 52 § 1. Формула Даламбера. Неограниченная струна 52 § 2. Струна с двумя закрепленными концами 55 § 3. Решение задачи для неоднородного уравнения и для более общих граничных условий 57 Лекция V. Метод Римана 63 § 1. Первая краевая задача для гиперболических уравнений ... 63 $ 2. Сопряженные дифференциальные операторы 67 § 3. Метод Римана 70 § 4. Функция Римана для сопряженного уравнения 74 | 5. Некоторые качественные следствия формулы Римана 76 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция VI. Кратные интегралы , 78 § 1. Замкнутые и открытые множества точек 79 | 2. Интегралы по открытым множествам от непрерывных фун- функций 84 § 3. Интегралы по ограниченным замкнутым множествам от непрерывных функций 90 § 4. Суммируемые функции 96 § 5. Неопределенный интеграл от функции одной переменной. Примеры 103 § 6. Измеримые множества. Теорема Егорова 106 § 7. Сходимость в среднем суммируемых функций 114 § 8. Теорема Лебега — Фубини 124 Лекция VII. Интегралы, зависящие от параметра 128 § 1. Интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении параметра 128 § 2. Производная по параметру от несобственных интегралов ... 131 Лекция VIII. Уравнение распространения тепла 136 § 1. Фундаментальное решение 136 § 2. Решение задачи Коши 142 Лекция IX. Уравнения Лапласа и Пуассона 149 § 1. Теорема максимума 149 § 2. Фундаментальное решение. Формула Грииа 151 § 3. Потенциалы объема, простого слоя к двойного слоя . . . 153 Лекция X. Некоторые общие следствия из формулы Грина 159 § 1. Теорема о среднем арифметическом 159 § 2. Поведение гармонической функции вблизи особой точки . . . 163 § 3. Поведение гармонической функции на бесконечности. Взаим- Взаимно сопряженные точки 167 Лекция XI. Уравнение Пуассона в неограниченной среде.