Читать онлайн «Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях»

В этой книге излагается первая часть курса, а также некоторый ва- риант дополнительных глав. В ней много задач, в основном довольно трудных. Она может служить учебным пособием по алгебре и для студентов вузов. Автор выражает глубокую благодарность В. А. Колосову, материалы которого существенно использовались при подготовке книги, а также А. В. Устинову за тщательное редактирование. Автор приносит извинения за оставшиеся в книге неточности и небреж- ности и за то, что не успел подготовить ее к 40-летию ФМШ МГУ и 100-летию А. Н. Колмогорова. Глава I. Числа и комбинаторика § 1. 1. Позиционные системы счисления Еще средневековые математики Ближнего Востока нашли простой подход к вычислениям с дробными числами – использование десятич- ных позиционных дробей. Позиционная десятичная система попала туда, видимо, из Индии, хотя позиционные дроби, правда не десятичные, а ше- стидесятеричные, были известны еще в Древнем Шумере, а десятичные дроби по существу были известны в Древнем Китае. Отметим еще, что двадцатеричную систему знали индейцы майя. Здесь уместно напомнить читателю, что запись (an . . . a0 ,a−1 . . . a−k) b в позиционной b-ичной системе означает число, равное an b n + . . . + a1 b + a0 + a−1 b −1 + . . . + a−k b −k , где an b n + . . . + a1 b + a0 – его целая, а a−1 b −1 + . . . + a−k b −k – дробная часть. В западных странах вместо запятой, отделяющей целую часть от дробной, используется точка. Почему обычно используется десятичная система? Главным образом, в силу традиции (которая, вероятно, основывается на том, что число паль- цев на обеих руках равно обычно 10; индейцы майя, возможно, не забыли и про ноги). Как писал Паскаль *, десятичная система ничем не луч- ше систем с другими основаниями. Более того, с некоторых точек зре- ния удобнее другие системы. Так, много поклонников имеет двенадца- теричная система (идущая от счета дюжинами и гроссами – дюжинами дюжин). Возможно, к их числу относился и Г. Дж. Уэллс (см. его ро- ман «Когда спящий проснется»). Преимущество этой системы в том, что 12 имеет больше делителей, чем 10, что несколько упрощает деление. * Б. Паскаль (Blaise Pascal, 1623–1662) – знаменитый французский математик, физик, религиозный философ и писатель. § 1. 1. Позиционные системы счисления 5 С этой точки зрения еще лучше шестидесятеричная система (но таб- лица умножения в этой системе вгоняет в дрожь). Остатки от было- го распространения этой системы видны в картографии и астрономии, а алгоритм перевода из этой системы в десятичную запаян в любом калькуляторе для научных расчетов (речь идет о переводе из градусной меры в десятичную и обратно). Кстати, первая запись дробного чис- ла в позиционной системе в Европе была сделана в XIII в. знамени- тым Фибоначчи: корень уравнения x 3 + 2x 2 + 10x = 20 он нашел в виде 1◦ 26′ 7′′ 42′′′ . Есть поклонники и у восьмеричной и шестнадцатеричной систем. Пер- вую из них хотел вести в Швеции Карл XII (который, возможно, пришел к этой идее самостоятельно), но ряд обстоятельств помешали этому про- грессивному начинанию (среди них, вероятно, и занятость короля в во- енных компаниях, в частности, под Полтавой в России).