Читать онлайн «Функция. Предел и непрерывность: Учебное пособие»

Геометрическая интерпретация разности дана на Рис. 1. 1. 1. рис. 1. 1. 3. Операция объединения множеств удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам: А∪В=В∪А А А ∪ (В ∪ С) = (А ∪ В) ∪ С Определение 9. Пересечением двух множеств А и В ВА называется множество D, состоящее из всех тех и только В \ тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно и обозначают так: D = А ∩ В. Геометрическая интерпретация пересечения множеств А и В дана на рис. 1. 1. 2. Рис. 1. 1. 3 Пример: Даны множества А ={а, b, d }, В ={b, d, e, h } А Найти объединение, пересечение и разность множеств А∪В А∩В А и В. В Очевидно, что А U В = {a, b, d, e, h}, А ∩ В = {b, d }, А \ В = {a} Логические символы Рис. 1. 1. 2 При формулировке теорем и их доказательств Операция пересечения подчиняется коммутативному приходится повторять отдельные слова и выражения. В и ассоциативному законам: целях сокращения записи используют различные А∩В=В∩А логические символы. Квантор общности обозначается ∀ и читается: Числовые множества. "любой", "всякий", "каждый". Например, запись ∀х ∈ М Множество натуральных чисел. Множество означает: "для любого х из множества М"; запись ∀ АВС натуральных чисел обозначают буквой N : N = {1,2,3... . }, а означает: "во всяком треугольнике АВС". его элементы - n. Квантор существования обозначается ∃ и читается: Множество N обладает следующими свойствами: "существует", "найдется". 1) сумма и произведение двух натуральных чисел Например, запись ∃х ∈ М означает: "существует х, являются натуральными числами и подчиняются принадлежащее множеству М такое, что... " коммутативному и ассоциативному законам, а Двоеточие означает: "имеет место", "такое, что". умножение - еще и дистрибутивному закону Если для краткой записи выражения используется относительно сложения; несколько кванторов, то все, что относится к одному из них, 2) операции вычитания и деления в N невыполнимы, заключают в скобки. Например, краткая запись в виде: n т. к. ∀n1, n2 ∈ N 1 не всегда принадлежит N, а n1 (∀ε > 0)(∃δ > 0) : ∀х ≠ х0 х - х0< δ ⇒ f(x) - b< ε n2 означает: "для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что для -n2 ∈ N, если n2 < n1; всех х, отличных от х0 и удовлетворяющих неравенству 3) 1 ∈ N; х - х0< δ, выполняется неравенство f(x) - b< ε ". 4) если M ⊆ N, 1∈ M и n∈M ⇒ (n + 1) ∈ M, то M = N Символ логического следования ⇒ означает: 5) N ⊂ R, счетно, бесконечно. "следует", "вытекает".