Читать онлайн «Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов»

Из всех путей, огибающих
|1 >|>у слева, также найдется самый короткий. Пусть путь слева короче пути
iii|i;iiia. Тогда кратчайший из путей, огибающих гору слева, будет давать
аОголютный экстремум. Кратчайший из путей справа не будет давать абсо-
чнггного экстремума, но на нем будет достигаться экстремум относительный —
пн с>удет короче по сравнению с путями, близкими к нему. Таким образом, если данная функция доставляет экстремум по сравне¬
нию со всеми функциями данного класса, то это — абсолютный экстремум. I * . ‘Iп экстремум достигается только при сравнении с близкими кривыми,
in но —относительный экстремум. Среди относительных экстремумов различают сильный и слабый. Силь¬
ный максимум достигается тогда, когда значение функционала на даннойI. (Minoii больше, чем на всех тех, до которых мало расстояние нулевого по-
|ni:ina. Слабый максимум достигается тогда, когда значение функционала
пн данной кривой больше по сравнению с его значениями на кривых, нахо-
нпцнхся в близости первого порядка. Всякий абсолютный экстремум есть7 и тп же время и относительный; любой сильный экстремум есть в то же
мромм и слабый, но не наоборот. Поэтому если некоторое условие является
необходимым для того, чтобы на кривой достигался слабый относительный
чкстремум, то оно будет необходимо и для сильного, а тем более дЛя абсо¬
лютного экстремума. 15 связи с этим, выводя далее основное необходимое условие экстремума—■
уравнение Эйлера, можем выводить его для слабого относительного мини¬
мума и сравнивать искомую функцию только с функциями, находящимися
н близости первого порядка; это и создает основу для разложения прираще-
ппя функционала в ряд Тейлора. 1-2. Уравнение ЭйлераПредположим, что минимум функционала (1-3) существует и дос¬
тавляется некоторой функцией у (х) в классе Сх. Определим, каким условиям
должна удовлетворять функция у (х) для того, чтобы минимум мог дости¬
гаться. Перейдем от функции у (ж) к функции у + ат], где а — число; г) (х) —
произвольная функция класса Clt подчиненная только условиям т) (а) =
= 1] (6) = 0. Поскольку функция у (х) по предположению доставляет ми¬
нимум, то разностьь ЬAJ = J F (х, у + си), у + «л) dx — J F {х, у, у) dx s» 0. (1-4)а аВместе с тем эта разность функционалов является функцией от а и мо¬
жет быть разложена в ряд Тейлора в окрестности а = 0:dJ , a2 cPJ , а» d3J ,ДJ — а . . . (1-5)da 1-2 da2 1-2-3 da3 vВыражение a ^ , где производная вычисляется при а = 0, обогна¬
лачают 6/ и называют первой вариацией функционала (1-3); выражениеa2 d2 J а3 d3. 1обозначают б2J и называют второй вариацией, —2 da2 6 da3= 63,/ — третьей вариацией и т. д. Наибольшее значение имеет первая вариация, поскольку она является
главной, линейной частью приращения функционала. При а, стремящемся
к нулю, члены ряда Тейлора, содержащие квадрат, куб и более высокие сте¬
пени а, убывают быстрее, чем линейный член, и при малых а приращение
функционала с точностью до бесконечно малых высшего порядка совпадает
с его первой вариацией. Для того чтобы выполнялось неравенство (1-4), необходимо, чтобы для
малых а — и положительных и отрицательных — выполнялось неравенствоdJ па >- 0,daми может быть лишь тогда, когда ^ = 0, а тем самым и 8J — 0 (действи-daп-лит, если > 0, то при положительных а будет 8У£> 0, но при отри-
daМНПМ1Ы1ЫХ а будет ЛУ <0, что противоречит нашему предположению о том,
•ни нм криинй I/ у (х) достигается минимум функционала). Imuiim обритом, необходимым условием минимума является равенство
му'пн т-риоИ miрипнмм функционала.