Читать онлайн «Основания теории множеств»

Авторы не питают иллюзий, что им удалось соблюсти надлежащие пропорции. В этой книге можно было бы перепечатать всю цитируемую в ней библиографию из ранее вышедшей книги1). Однако, чтобы избавить читателя от необходимости постоянно обращаться к этой библиографии, было принято следующее компромиссное решение. Приложенная к этой книге библиография содержит в дополнение ко всем важнейшим публикациям, появившимся после 1950 г. , те из наиболее важных ранее вышедших работ, на которые мы часто ссылаемся; в отношении же менее важных для наших целей публикаций читатель может обратиться к библиографии из более раннего тома, причем в предстоящем в скором времени втором его издании эти публикации для удобства читателей будут специально отмечены. Хотя большинство цитируемых книг и статей были действительно прочитаны по крайней мере одним из авторов, в отношении некоторых работ, особенно опубликованных на недостаточно знакомых авторам языках (таких, как русский, польский, венгерский, финский или скандинавские языки), пришлось в основном полагаться на рефераты в The Journal of Symbolic Logic, авторы с благодарностью признают оказанную им тем самым помощь. Символизм математической логики в книге в целом используется довольно скупо; но наиболее важные определения и аксиомы, а также некоторые теоремы формулируются (и) в символической записи. Более широко символические формулировки используются в гл. III и V, но даже там они в основном относятся к абзацам, напечатанным мелким шрифтом, которые мо- 1) Что и сделано в настоящем, русском издании; см прим. 2 на стр. 13,— Прим. перев. w Предисловие гут быть без особого ущерба опущены. Некоторые сведения по символической логике приведены на стр. 37 и далее и на стр. 324 и ел. Авторы обычно избегали выражать свое собственное мнение по спорным вопросам. Лишь в весьма редких случаях, в частности в связи с некоторыми интуиционистскими тезисами, они сочли полезным добавить и свою собственную критику. Гл. I, III и V в основном написаны младшим автором (И. Б-Х. ), а гл. II и IV — старшим (Α. Α. Φ. ); но за всю книгу в целом мы несем общую ответственность. Мы хотим выразить благодарность нашим иерусалимским коллегам Азриэлю Леви и Абрахаму Робинсону, прочитавшим часть корректур и давшим нам ценные советы, и М. Д. Франку, заместителю директора издательства North-Holland Publishing Company, за оказанную им помощь при опубликовании книги. Иерусалим А. 'А. Ф. И. Б-Х. АНТИНОМИИ ГЛАВА ι § 1. Историческое введение В Abstract Set Theory1) основы теории множеств были изложены преимущественно генетическим способом: были определены основные понятия, и из этих определений при помощи обычного дедуктивного метода выводились теоремы. Точнее, в Τ содержались некоторые элементы полуаксиоматического ха^· рактера в виде семи принципов, главное назначение которых заключалось в уточнении объема понятия множества. Точное значение этих принципов подробно обсуждается в гл. II настоящей книги2). В ряде мест Τ (стр. 18, 132, 282, 301) приняты специальные меры предосторожности, предупреждающие возникновение прот тиворечий.